小蓝书 3.1 题解

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例题

例1

函数 $y = \dfrac{2x^2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{1+x^2},~x\in \left[-\frac{3\pi}{4},0\right) \cup\left(0,\frac{3\pi}{4}\right]$ ，图像大致是？（选择题）

解：

首先 $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$ ，即

$$f(x) = \dfrac{2x^2\sin x}{1+x^2},~x\in \left[-\frac{3\pi}{4},0\right) \cup\left(0,\frac{3\pi}{4}\right]$$

然后考察其是否为奇函数（显然是）

$$f(-x) = -\dfrac{2x^2\sin x}{1+x^2}$$

再考察单调性

$$f^{\prime}(x) = \frac{2x}{(1+x^2)^2}\cdot[(x+x^3)\cos x + 2\sin x]$$

于是 $\frac{\pi}{2} >0$ ，即在 $[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} + \epsilon]$ 处单调递增。故答案选 C 。

例2

(1) 将 $f(x)=2\sin 2x$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度得到 $g(x)$ 的图像。

  若函数 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{a}{3}\right],~[2a,\frac{7\pi}{6}]$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围。

解：

$$g(x) = 2\sin2\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$

因为 $\sin u$ 的增区间为 $\left[0+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right]$ ，则令 $u=2x+\frac{\pi}{6}$ 可知 $g(x)$ 的增区间为 $\left[\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{7\pi}{6}+k\pi\right]$

那么有 $\frac{\pi}{6}\le2a\le\frac{7\pi}{6}$ 和 $0 < \frac{a}{3} \le \frac{1}{6}\pi$ ，即 $a \in [\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$ 。

(2) 已知函数 $f(x) = \sin(\pi x),~g(x) = \frac{1}{2 - 2x}(x \ne 1)$ 且 $g(1) = 0$

  求函数 $h(x) = f(x) - g(x),x\in (-2,4]$ 的所有零点的和。

解：

作图（ $g(1)=0$ 我忘记画了）

容易发现 $h(x)$ 的零点实际上就是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的交点，有 $9$ 个（包括 $x=1$ ）。

又因为 $f(x)$ 的周期 $T = 2$ ，所以两个函数都关于 $(1,0)$ 对称，则每个零点的贡献为 $1$ ，答案为 $9$ 。

例3

咕咕咕。。。

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习题

继续咕咕咕。