小蓝书 3.1 题解
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例题
例1
函数 \(y = \dfrac{2x^2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{1+x^2},~x\in \left[-\frac{3\pi}{4},0\right) \cup\left(0,\frac{3\pi}{4}\right]\) ，图像大致是？（选择题）
解：
首先 \(\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x\) ，即 \[ f(x) = \dfrac{2x^2\sin x}{1+x^2},~x\in \left[-\frac{3\pi}{4},0\right) \cup\left(0,\frac{3\pi}{4}\right] \] 然后考察其是否为奇函数（显然是） \[ f(-x) = -\dfrac{2x^2\sin x}{1+x^2} \] 再考察单调性 \[ f^{\prime}(x) = \frac{2x}{(1+x^2)^2}\cdot[(x+x^3)\cos x + 2\sin x] \] 于是 \(\frac{\pi}{2} >0\) ，即在 \([\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} + \epsilon]\) 处单调递增。故答案选 C 。
例2
- 将 \(f(x)=2\sin 2x\) 的图像向左平移 \(\frac{\pi}{12}\) 个单位长度得到 \(g(x)\) 的图像。
若函数 \(g(x)\) 在 \(\left[0, \frac{a}{3}\right],~[2a,\frac{7\pi}{6}]\) 上单调递增，求实数 \(a\) 的取值范围。
解： \[ g(x) = 2\sin2\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \] 因为 \(\sin u\) 的增区间为 \(\left[0+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right]\) ，则令 \(u=2x+\frac{\pi}{6}\) 可知 \(g(x)\) 的增区间为 \(\left[\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{7\pi}{6}+k\pi\right]\)
那么有 \(\frac{\pi}{6}\le2a\le\frac{7\pi}{6}\) 和 \(0 < \frac{a}{3} \le \frac{1}{6}\pi\) ，即 \(a \in [\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]\) 。
- 已知函数 \(f(x) = \sin(\pi x),~g(x) = \frac{1}{2 - 2x}(x \ne 1)\) 且 \(g(1) = 0\)
求函数 \(h(x) = f(x) - g(x),x\in (-2,4]\) 的所有零点的和。
解：
作图（ \(g(1)=0\) 我忘记画了）
容易发现 \(h(x)\) 的零点实际上就是 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的交点，有 \(9\) 个（包括 \(x=1\) ）。
又因为 \(f(x)\) 的周期 \(T = 2\) ，所以两个函数都关于 \((1,0)\) 对称，则每个零点的贡献为 \(1\) ，答案为 \(9\) 。
例3
咕咕咕。。。
习题
继续咕咕咕。