note[17]

题：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点 \(K,L,M,N,O\) 。求证：这五点共圆。

证明：

作辅助线 \(JN,IN,DN\)​​ 。

因为 \(J,I,N,E\) 四点共圆，所以 \(\angle EJN = \angle EIN\) （圆周角等于两倍圆心角）

因为 \(J,N,D,H\) 四点共圆，所以 \(\angle EIN = \angle NDH\)​ （四点共圆的性质，对角互补）

则 \(\angle EJN = \angle NDH\) ，因此 \(J,N,D,B\) 四点共圆。同理可知 \(J,D,B,K\) 四点共圆。

所以 \(J,N,D,B,K\)​​ 五点共圆。再作辅助线 \(KB,KL,KN,ML,MN,LG,HM\)​ 。

因为 \(\angle LMH = 180^{\circ} - \angle LGH = \angle LGB = \angle BKL\)​

又因为 \(\angle NMH = \angle NDH = 180^{\circ} - \angle BKN = 180^{\circ} - \angle LKN - \angle BKL\)​

所以 \(\angle LMN + \angle LKN = (\angle LMH + \angle NMH) + \angle LKN = 180^{\circ}\)​

所以 \(K,L,M,N\) 四点共圆。同理，易知 \(M,L,K,O\) 四点共圆、\(O,N,M,K\) 四点共圆

因此 \(K,L,M,N,O\) 五点共圆。

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实际上这就是密克定理（英语：Miquel's theorem）中的五圆定理。

贴个维基百科上的介绍好了。

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参考文献：

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/78358100

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题外话：

平面几何好多内容都忘记了，难绷。