note[17]

题：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点 $K,L,M,N,O$ 。求证：这五点共圆。

证明：

作辅助线 $JN,IN,DN$​​ 。

因为 $J,I,N,E$ 四点共圆，所以 $\angle EJN = \angle EIN$ （圆周角等于两倍圆心角）

因为 $J,N,D,H$ 四点共圆，所以 $\angle EIN = \angle NDH$​ （四点共圆的性质，对角互补）

则 $\angle EJN = \angle NDH$ ，因此 $J,N,D,B$ 四点共圆。同理可知 $J,D,B,K$ 四点共圆。

所以 $J,N,D,B,K$​​ 五点共圆。再作辅助线 $KB,KL,KN,ML,MN,LG,HM$​ 。

因为 $\angle LMH = 180^{\circ} - \angle LGH = \angle LGB = \angle BKL$​

又因为 $\angle NMH = \angle NDH = 180^{\circ} - \angle BKN = 180^{\circ} - \angle LKN - \angle BKL$​

所以 $\angle LMN + \angle LKN = (\angle LMH + \angle NMH) + \angle LKN = 180^{\circ}$​

所以 $K,L,M,N$ 四点共圆。同理，易知 $M,L,K,O$ 四点共圆、$O,N,M,K$ 四点共圆

因此 $K,L,M,N,O$ 五点共圆。

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实际上这就是密克定理（英语：Miquel’s theorem）中的五圆定理。

贴个维基百科上的介绍好了。

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参考文献：

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/78358100

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题外话：

平面几何好多内容都忘记了，难绷。