博客符号&记号参照表
这里约定了本博客中的一些数学记号的含义。
一些早期文章可能不遵循该规则，但基本不影响阅读。
比如自然常数 $\mathrm{e}$ 也是在本人学了离心率 $e$ 之后才区分写法的。
另外，一些数学记号的含义可能会随时间变化而有所差异，我会标注这些修改。
Q: 为什么要修改符号的含义？
A: 这是为了兼顾方便读者阅读和美观的决定，另外 q779 非常喜欢统一规范。
最近的一次修改是：20240626，增加了单位函数 $\epsilon(n)=[n=1]$ 。
一、常用
$\mathcal{O}(f(n))$ ：渐进上界记号，用于表示算法的复杂度上界。
$a \gets b+c$ ：将变量 $a$ 赋值为 $b+c$
$a\uparrow b+c$ ：表示 $a\gets \max\{a,b+c\}$ ，其中 $\uparrow$ 的优先级极低。有时表示 a += b+c ，会特殊说明。
$a\downarrow b+c$ ：表示 $a\gets \min\{a,b+c\}$ ，其中 $\downarrow$ 的优先级极低。
$\land$ ：逻辑与。一般用 $\&$ 或者 $\mathrm{and}$ 表示二进制按位与。
$\lor$ ：逻辑或。一般用 $\mathrm{or}$ 表示二进制按位或。
从 20240119 起，逻辑运算将采用新的表示，如下：
- 当出现在若干等式间时，如 $\Delta = 0\,\land\,u = v \ne 0$ ，且等式间有明显空格，则表示逻辑与，即「且」
- 当出现在两个变量间时，如 $(u \land \frac{\Delta}{2}) = 0$ 或 $(x \lor y) = \sum |S|$，有明显括号，则表示二进制按位与。
- $\mathrm{and}$ 将表示逻辑与，而不再表示二进制按位与。
至于为什么这么改，因为 $\&$ 实在是太难看了。
$[p(x)]=\begin{cases}1,&p(x)=\mathtt{true} \\ 0,&p(x)=\mathtt{false}\end{cases}$
$n!$ ：表示 $n$ 的阶乘。注意 $2n!$ 表示 $2\times n!$ ，$(2n)!$ 表示 $2n$ 的阶乘。
$\sum a_i$ ：对序列/数组 $a_i$ 求和。
$\prod a_i$ ：对序列/数组 $a_i$ 求积。
$\bigoplus_{i=1}^{n} x_i = x_1 \oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n$ ，其中 $\oplus$ 一般表示二进制按位异或。
$\binom{n}{m}$ 或 $\mathrm{C}_n^{m}$ ：从 $n$ 个不同元素中取 $m(m\le n)$ 个不同元素的方案数。
$\binom{r}{n} = \prod_{k=1}^{n}\frac{r - k + 1}{k}\quad(r \in \mathbb{C})$ ，即二项式系数。
$f^n(x)$ ：表示 $f$ 的 $n$ 次复合，即 $f(f(\cdots f(x)))$ ，其中有 $n$ 个 $f$ 。
$f^{(n)}(x)$ ：表示 $f$ 的 $n$ 阶导数。一般用 $f^{\prime}(x)$ 表示一阶导数，$f^{\prime \prime}(x)$ 表示二阶导数。
$f^{\star}(x)=k$ ：最小的 $n$ 使得 $f^{n}(x) = k$ ，注意这里是 $n$ 次复合。例如 $\mathcal{O}(\varphi^{\star}(x)=1)$ 。
$[x^n]f(x)$ ：表示 $f(x)$ 的第 $n$ 项系数。
${\displaystyle \int f(x)\,dx}$ ：表示 $f(x)$ 的不定积分。
$\left.x^2+x\right|_{x=2}$ 将 $x$ 赋值为 $2$ 后的答案。
$\varphi,\varepsilon,\vartheta,\pi,\mathrm{e}$ 前三个是个人书写习惯而使用，后面对应圆周率和自然常数（注意与离心率 $e$ 区分）
二、数论函数
$\gcd(a,b)$ ：整数 $a,b$ 的最大公约数（最大公约数为非负整数）。
$\mathrm{lcm}(a,b)$ ：整数 $a,b$ 的最小公倍数（最大公约数为非负整数）。
$\epsilon(n)$ ：单位函数 $\epsilon(n)=[n=1]$ 。
$\mathbf{1}(n)$ ：常数函数 $\mathbf{1}(n)=1$ ，有时候可能用 $I(n)$ 代替。
$\mathrm{id}(n)$ ：恒等函数 $\mathrm{id}(n)=n$ 。
$\zeta(n)$ ：一般指黎曼函数。
$\varphi(n)$ ：一般指欧拉函数。
$\mu(n)$ ：一般指莫比乌斯函数。
$\pi(n)$ ：一般指素数计数函数。
$\omega(n)$ ：一般指 $n$ 的不同素因子个数。
$d(n)$ ：一般指 $n$ 的因子个数。
| $n \le$ | $10^{1}$ | $10^{2}$ | $10^{3}$ | $10^{4}$ | $10^{5}$ | $10^{6}$ | $10^{7}$ | $10^{8}$ | $10^{9}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\max\{\omega(n)\}$ | $\tt{2}$ | $\tt{3}$ | $\tt{4}$ | $\tt{5}$ | $\tt{6}$ | $\tt{7}$ | $\tt{8}$ | $\tt{8}$ | $\tt{9}$ |
| $\max\{d(n)\}$ | $\tt{4}$ | $\tt{12}$ | $\tt{32}$ | $\tt{64}$ | $\tt{128}$ | $\tt{240}$ | $\tt{448}$ | $\tt{768}$ | $\tt{1344}$ |
| $n \le$ | $10^{10}$ | $10^{11}$ | $10^{12}$ | $10^{13}$ | $10^{14}$ | $10^{15}$ | $10^{16}$ | $10^{17}$ | $10^{18}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\max\{\omega(n)\}$ | $\tt{10}$ | $\tt{10}$ | $\tt{11}$ | $\tt{12}$ | $\tt{12}$ | $\tt{13}$ | $\tt{13}$ | $\tt{14}$ | $\tt{15}$ |
| $\max\{d(n)\}$ | $\tt{2304}$ | $\tt{4032}$ | $\tt{6720}$ | $\tt{10752}$ | $\tt{17280}$ | $\tt{26880}$ | $\tt{41472}$ | $\tt{64512}$ | $\tt{103680}$ |
三、变量&函数命名
因为是 OIer ，所以有些变量的定义不止一个字母。
下面这些都是常用的含义，如果有区别会在文章内特别说明的。
$\epsilon$ ：一般表示较小的常数，或者精度范围（如 eps=1e-14 ）等含义。
$\mathtt{ans}$ ：通常表示答案。是 $\mathtt{answer}$ 的缩写。
$\mathtt{sz}_u$ 或 $\mathtt{size}(u)$ ： 一般表示某个集合 $u$ 的大小，或者 $u$ 所在子树的大小等含义。
$dp[i][j]$ 或 $f_{i,j}$ ：dp的状态，更正式的写法应该是 $f(i,j)$ ，可能算一个二元函数。
$\mathtt{rt}(u)$ 或 $\mathtt{rt}_u$ ：一般表示 $u$ 所在的树的根结点，是 $\mathtt{root}$ 的缩写。
$\mathtt{popc}(A)$ ：表示集合 $A$ 的基数（元素个数），源于函数 __builtin_popcount()
四、集合
$\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ 。
$\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ 。
$A\setminus B$ ：$B$ 对 $A$ 的相对补集（可以理解为 $A$ 去掉 $A\cap B$ 后剩余的部分）
$\sim!A$ ：$A$ 的绝对补集（对于全集的补集）
