博客符号&记号参照表
这里约定了本博客中的一些数学记号的含义。
一些早期文章可能不遵循该规则，但基本不影响阅读。
比如自然常数 \(\mathrm{e}\) 也是在本人学了离心率 \(e\) 之后才区分写法的。
另外，一些数学记号的含义可能会随时间变化而有所差异，我会标注这些修改。
Q: 为什么要修改符号的含义？
A: 这是为了兼顾方便读者阅读和美观的决定，另外 q779 非常喜欢统一规范。
最近的一次修改是：20240626，增加了单位函数 \(\epsilon(n)=[n=1]\) 。
一、常用
\(\mathcal{O}(f(n))\) ：渐进上界记号，用于表示算法的复杂度上界。
\(a \gets b+c\) ：将变量 \(a\) 赋值为 \(b+c\)
\(a\uparrow b+c\) ：表示 \(a\gets \max\{a,b+c\}\) ，其中 \(\uparrow\) 的优先级极低。有时表示
a += b+c ，会特殊说明。
\(a\downarrow b+c\) ：表示 \(a\gets \min\{a,b+c\}\) ，其中 \(\downarrow\) 的优先级极低。
\(\land\) ：逻辑与。一般用 \(\&\) 或者 \(\mathrm{and}\) 表示二进制按位与。
\(\lor\) ：逻辑或。一般用 \(\mathrm{or}\) 表示二进制按位或。
从 20240119 起，逻辑运算将采用新的表示，如下：
- 当出现在若干等式间时，如 \(\Delta = 0\,\land\,u = v \ne 0\) ，且等式间有明显空格，则表示逻辑与，即「且」
- 当出现在两个变量间时，如 \((u \land \frac{\Delta}{2}) = 0\) 或 \((x \lor y) = \sum |S|\)，有明显括号，则表示二进制按位与。
- \(\mathrm{and}\) 将表示逻辑与，而不再表示二进制按位与。
至于为什么这么改，因为 \(\&\) 实在是太难看了。
\([p(x)]=\begin{cases}1,&p(x)=\mathtt{true} \\ 0,&p(x)=\mathtt{false}\end{cases}\)
\(n!\) ：表示 \(n\) 的阶乘。注意 \(2n!\) 表示 \(2\times n!\) ，\((2n)!\) 表示 \(2n\) 的阶乘。
\(\sum a_i\) ：对序列/数组 \(a_i\) 求和。
\(\prod a_i\) ：对序列/数组 \(a_i\) 求积。
\(\bigoplus_{i=1}^{n} x_i = x_1 \oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n\) ，其中 \(\oplus\) 一般表示二进制按位异或。
\(\binom{n}{m}\) 或 \(\mathrm{C}_n^{m}\) ：从 \(n\) 个不同元素中取 \(m(m\le n)\) 个不同元素的方案数。
\(\binom{r}{n} = \prod_{k=1}^{n}\frac{r - k + 1}{k}\quad(r \in \mathbb{C})\) ，即二项式系数。
\(f^n(x)\) ：表示 \(f\) 的 \(n\) 次复合，即 \(f(f(\cdots f(x)))\) ，其中有 \(n\) 个 \(f\) 。
\(f^{(n)}(x)\) ：表示 \(f\) 的 \(n\) 阶导数。一般用 \(f^{\prime}(x)\) 表示一阶导数，\(f^{\prime \prime}(x)\) 表示二阶导数。
\(f^{\star}(x)=k\) ：最小的 \(n\) 使得 \(f^{n}(x) = k\) ，注意这里是 \(n\) 次复合。例如 \(\mathcal{O}(\varphi^{\star}(x)=1)\) 。
\([x^n]f(x)\) ：表示 \(f(x)\) 的第 \(n\) 项系数。
\({\displaystyle \int f(x)\,dx}\) ：表示 \(f(x)\) 的不定积分。
\(\left.x^2+x\right|_{x=2}\) 将 \(x\) 赋值为 \(2\) 后的答案。
\(\varphi,\varepsilon,\vartheta,\pi,\mathrm{e}\) 前三个是个人书写习惯而使用，后面对应圆周率和自然常数（注意与离心率 \(e\) 区分）
二、数论函数
\(\gcd(a,b)\) ：整数 \(a,b\) 的最大公约数（最大公约数为非负整数）。
\(\mathrm{lcm}(a,b)\) ：整数 \(a,b\) 的最小公倍数（最大公约数为非负整数）。
\(\epsilon(n)\) ：单位函数 \(\epsilon(n)=[n=1]\) 。
\(\mathbf{1}(n)\) ：常数函数 \(\mathbf{1}(n)=1\) ，有时候可能用 \(I(n)\) 代替。
\(\mathrm{id}(n)\) ：恒等函数 \(\mathrm{id}(n)=n\) 。
\(\zeta(n)\) ：一般指黎曼函数。
\(\varphi(n)\) ：一般指欧拉函数。
\(\mu(n)\) ：一般指莫比乌斯函数。
\(\pi(n)\) ：一般指素数计数函数。
\(\omega(n)\) ：一般指 \(n\) 的不同素因子个数。
\(d(n)\) ：一般指 \(n\) 的因子个数。
| \(n \le\) | \(10^{1}\) | \(10^{2}\) | \(10^{3}\) | \(10^{4}\) | \(10^{5}\) | \(10^{6}\) | \(10^{7}\) | \(10^{8}\) | \(10^{9}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\max\{\omega(n)\}\) | \(\tt{2}\) | \(\tt{3}\) | \(\tt{4}\) | \(\tt{5}\) | \(\tt{6}\) | \(\tt{7}\) | \(\tt{8}\) | \(\tt{8}\) | \(\tt{9}\) |
| \(\max\{d(n)\}\) | \(\tt{4}\) | \(\tt{12}\) | \(\tt{32}\) | \(\tt{64}\) | \(\tt{128}\) | \(\tt{240}\) | \(\tt{448}\) | \(\tt{768}\) | \(\tt{1344}\) |
| \(n \le\) | \(10^{10}\) | \(10^{11}\) | \(10^{12}\) | \(10^{13}\) | \(10^{14}\) | \(10^{15}\) | \(10^{16}\) | \(10^{17}\) | \(10^{18}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\max\{\omega(n)\}\) | \(\tt{10}\) | \(\tt{10}\) | \(\tt{11}\) | \(\tt{12}\) | \(\tt{12}\) | \(\tt{13}\) | \(\tt{13}\) | \(\tt{14}\) | \(\tt{15}\) |
| \(\max\{d(n)\}\) | \(\tt{2304}\) | \(\tt{4032}\) | \(\tt{6720}\) | \(\tt{10752}\) | \(\tt{17280}\) | \(\tt{26880}\) | \(\tt{41472}\) | \(\tt{64512}\) | \(\tt{103680}\) |
三、变量&函数命名
因为是 OIer ，所以有些变量的定义不止一个字母。
下面这些都是常用的含义，如果有区别会在文章内特别说明的。
\(\epsilon\)
：一般表示较小的常数，或者精度范围（如 eps=1e-14
）等含义。
\(\mathtt{ans}\) ：通常表示答案。是 \(\mathtt{answer}\) 的缩写。
\(\mathtt{sz}_u\) 或 \(\mathtt{size}(u)\) ： 一般表示某个集合 \(u\) 的大小，或者 \(u\) 所在子树的大小等含义。
\(dp[i][j]\) 或 \(f_{i,j}\) ：dp的状态，更正式的写法应该是 \(f(i,j)\) ，可能算一个二元函数。
\(\mathtt{rt}(u)\) 或 \(\mathtt{rt}_u\) ：一般表示 \(u\) 所在的树的根结点，是 \(\mathtt{root}\) 的缩写。
\(\mathtt{popc}(A)\) ：表示集合
\(A\) 的基数（元素个数），源于函数
__builtin_popcount()
四、集合
\(\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\) 。
\(\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\) 。
\(A\setminus B\) ：\(B\) 对 \(A\) 的相对补集（可以理解为 \(A\) 去掉 \(A\cap B\) 后剩余的部分）
\(\sim\!A\) ：\(A\) 的绝对补集（对于全集的补集）
