欧拉乘积公式
\[ \zeta(z)=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-z}} \]
其中 \(\mathbb{P}\) 为全体质数，\(\zeta(z)\) 是黎曼函数。
证明： \[
\zeta(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}+\cdots\tag{1}
\] \((1)\) 乘上 \(\frac{1}{2^z}\) 得 \[
\frac{1}{2^z}
\zeta(z)=\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{6^z}+\frac{1}{8^z}+\frac{1}{10^z}+
\cdots\tag{2}
\] \((1)\) 减 \((2)\) 得 \[
\left(1-\frac{1}{2^z}\right)
\zeta(z)=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{11^z}+\frac{1}{13^z}+\cdots
\tag{3}
\] \((3)\) 乘 \(\frac{1}{3^z}\) 得 \[
\frac{1}{3^z}\left(1-\frac{1}{2^z}\right)
\zeta(z)=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\frac{1}{21^z}+\frac{1}{27^z}+\frac{1}{33^z}+\cdots\tag{4}
\] \((3)\) 减 \((4)\) 得 \[
\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right)
\zeta(z)=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\frac{1}{13^z}+\frac{1}{17^z}+\cdots\tag{5}
\] 可以发现，\((5)\) 中 \(2,3\) 的倍数都被消掉了，不断重复就可以得到
\[
\cdots\left(1-\frac{1}{11^z}\right)\left(1-\frac{1}{7^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right)
\zeta(z)=1
\] （第一次见到省略号写在前面的）于是 \[
\begin{aligned}
&
\zeta(z)=\frac{1}{\cdots\left(1-\frac{1}{11^z}\right)\left(1-\frac{1}{7^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right)}
\\[6pt]& =\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^z}\right)}
\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^z}\right)}
\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^z}\right)}
\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^z}\right)}
\frac{1}{\left(1-\frac{1}{11^z}\right)} \cdots
\\[6pt]&
=\left(\frac{1}{1-2^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-3^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-5^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-7^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-11^{-z}}\right)
\cdots
\\[6pt]& =\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-z}}=\varepsilon(z)
\end{aligned}
\] \(\varepsilon(z)\)
也被称为欧拉积。（垃圾？）
参考文献：
[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/58832513
题外话：
今天是2024年2月29日，是我学OI以来第二个闰年了。
