欧拉乘积公式

\[ \zeta(z)=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-z}} \]

其中 \(\mathbb{P}\) 为全体质数，\(\zeta(z)\) 是黎曼函数。

证明： \[ \zeta(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}+\cdots\tag{1} \] \((1)\) 乘上 \(\frac{1}{2^z}\) 得 \[ \frac{1}{2^z} \zeta(z)=\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{6^z}+\frac{1}{8^z}+\frac{1}{10^z}+ \cdots\tag{2} \] \((1)\) 减 \((2)\) 得 \[ \left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{11^z}+\frac{1}{13^z}+\cdots \tag{3} \] \((3)\) 乘 \(\frac{1}{3^z}\) 得 \[ \frac{1}{3^z}\left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\frac{1}{21^z}+\frac{1}{27^z}+\frac{1}{33^z}+\cdots\tag{4} \] \((3)\) 减 \((4)\) 得 \[ \left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\frac{1}{13^z}+\frac{1}{17^z}+\cdots\tag{5} \] 可以发现，\((5)\) 中 \(2,3\) 的倍数都被消掉了，不断重复就可以得到 \[ \cdots\left(1-\frac{1}{11^z}\right)\left(1-\frac{1}{7^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=1 \] （第一次见到省略号写在前面的）于是 \[ \begin{aligned} & \zeta(z)=\frac{1}{\cdots\left(1-\frac{1}{11^z}\right)\left(1-\frac{1}{7^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right)} \\[6pt]& =\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{11^z}\right)} \cdots \\[6pt]& =\left(\frac{1}{1-2^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-3^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-5^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-7^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-11^{-z}}\right) \cdots \\[6pt]& =\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-z}}=\varepsilon(z) \end{aligned} \] \(\varepsilon(z)\) 也被称为欧拉积。（垃圾？）

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参考文献：

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/58832513

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题外话：

今天是2024年2月29日，是我学OI以来第二个闰年了。