欧拉乘积公式

$$\zeta(z)=\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-z}}$$

其中 $\mathbb{P}$ 为全体质数，$\zeta(z)$ 是黎曼函数。

证明：

$$\zeta(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}+\cdots\tag{1}$$

$(1)$ 乘上 $\frac{1}{2^z}$ 得

$$\frac{1}{2^z} \zeta(z)=\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{6^z}+\frac{1}{8^z}+\frac{1}{10^z}+ \cdots\tag{2}$$

$(1)$ 减 $(2)$ 得

$$\left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{11^z}+\frac{1}{13^z}+\cdots \tag{3}$$

$(3)$ 乘 $\frac{1}{3^z}$ 得

$$\frac{1}{3^z}\left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\frac{1}{21^z}+\frac{1}{27^z}+\frac{1}{33^z}+\cdots\tag{4}$$

$(3)$ 减 $(4)$ 得

$$\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\frac{1}{13^z}+\frac{1}{17^z}+\cdots\tag{5}$$

可以发现，$(5)$ 中 $2,3$ 的倍数都被消掉了，不断重复就可以得到

$$\cdots\left(1-\frac{1}{11^z}\right)\left(1-\frac{1}{7^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right) \zeta(z)=1$$

（第一次见到省略号写在前面的）于是

$$\begin{aligned} & \zeta(z)=\frac{1}{\cdots\left(1-\frac{1}{11^z}\right)\left(1-\frac{1}{7^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{2^z}\right)} \\[6pt]& =\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^z}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{11^z}\right)} \cdots \\[6pt]& =\left(\frac{1}{1-2^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-3^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-5^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-7^{-z}}\right)\left(\frac{1}{1-11^{-z}}\right) \cdots \\[6pt]& =\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-z}}=\varepsilon(z) \end{aligned}$$

$\varepsilon(z)$ 也被称为欧拉积。（垃圾？）

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参考文献：

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/58832513

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题外话：

今天是2024年2月29日，是我学OI以来第二个闰年了。