群论基础
在数学和抽象代数中，群论（Group Theory）主要研究叫做「群」的代数结构。
群的定义
在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。
一个群是一个集合 \(G\) 加上对 \(G\) 的二元运算。二元运算用 \(\cdot\) 表示，它结合了任意两个元素 \(a,b\) 同时形成了一个属于 \(G\) 的元素，记作 \(a\cdot b\) 。
群公理包含下属四个性质（有时会略去封闭性）。
若集合 \(G \ne \varnothing\) 和 \(G\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((G,\cdot)\) 满足以下性质：
- 封闭性：对于所有 \(G\) 中的 \(a,b\) ，运算 \(a \cdot b\) 的结果也在 \(G\) 中、
- 结合律：对于 \(G\) 中的所有 \(a,b,c\) ，等式 \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b \cdot c)\) 成立
- 单位元（也称幺元）：\(G\) 中存在一个元素 \(e\) ，使得对于 \(G\) 中的每个元素 \(a\) ，都有一个 \(e \cdot a = a \cdot e = a\) 成立。这样的元素是独一无二的，它被称为群的单位元。
- 逆元：对于每个 \(G\) 中的 \(a\) ，总存在 \(G\) 中的一个元素 \(b\) 是 \(a \cdot b = b \cdot a = e\) ，此处 \(e\) 为单位元，称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\) 。
则称 \((G, \cdot)\) 为一个群。例如，整数集和整数见的加法 \((\mathbb{Z},+)\) 构成一个群，单位元是 \(0\) ，逆元即是相反数。
群的衍生结构
- 若代数结构 \((G, \cdot)\) 满足封闭性、结合律性质，则称 \((G,\cdot)\) 为一个半群。
- 若半群 \((G,\cdot)\) 还满足单位元性质，则称 \((G,\cdot)\) 为一个幺半群
- 若群 \((G, \cdot)\) 还满足交换律（即对于 \(G\) 中所有的 \(a,b\) ，等式 \(a\cdot b = b \cdot a\) 成立），则称 \((G,\cdot)\) 为一个阿贝尔群（Abelian group），又称交换群。
环
形式上，环（ring）是集合 \(R\) 及对 \(R\) 的两个二元运算 \(+\) 和 \(\cdot\) 所组成的，满足如下性质的代数结构 \((R,+,\cdot)\) ：
- \((R,+)\) 构成交换群，其单位元记为 \(0\) ，\(R\) 中元素 \(a\) 的加法逆元记为 \(-a\) 。
- \((R,\cdot)\) 构成半群。
- 分配律：对于 \(R\) 中所有的 \(a,b,c\) ，等式 \(a \cdot(b + c) = a \cdot b + a\cdot c\) 和 \((a + b)\cdot c = a\cdot c + b \cdot c\) 成立
在抽象代数中，研究环的分支为环论，在这里只是稍作介绍。
注意：在有的定义中（例如维基百科），环必须存在乘法单位元；相对地，不存在乘法单位元的则被称为 伪环（rng 或 pseudo-ring）。遇到的时候需根据上下文加以判断。
维基百科定义如下：
In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a rng (IPA:/rʊŋ/). For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term "ring" without requiring a multiplicative identity.
环的衍生结构
- 若环 \(R\) 上的乘法还满足交换律，则称 \(R\) 为交换环。
- 若环 \(R\) 存在乘法单位元一，则称 \(R\) 为幺环（ring with identity）
- 若幺环 \(R\) 的所有非 \(0\) 元素 \(a\) 存在乘法逆元 \(a^{-1}\) ，则称 \(R\) 为除环（division ring）
域
域（field）是一个比环性质更强的代数结构，具体地，域是交换除环。
域的研究方法和环大不相同。在抽象代数中，研究域的分支是域论。当然这里也只是简单介绍。
群的基本概念
不妨定义 \(X=x,y,z\) 为包含 \(x,y,z\) 元素的集合 \(X\) 。 \(x \in X\) 表示 \(x\) 属于 \(X\) 。
\(f : X \rightarrow Y\) 表示 \(f\) 是一个与 \(X\) 的每个元素和 \(Y\) 的元素相关联的函数。
在研究集合时，我们使用子集、函数和等价关系商等概念。
在研究群时，我们通过等价关系用子群、同态和商群来代替。
群同态
群同态是保持群结构的函数，可用于关联两个群
从群 \((G,\cdot)\) 到群 \((H,*)\) 的同态是一个函数 \(\varphi:G \to H\) 使得对于 \(G\) 中所有的元素 \(a\) 和 \(b\) 有 \[ \varphi(a \cdot b)=\varphi(a) * \varphi(b) \]
子群
子群是包含在更大的群 \(G\) 内的一个群 \(H\) 。它具有 \(G\) 的元素的子集和相同操作。
这意味着 \(G\) 的单位元素必须包含在 \(H\) 中，并且每当 \(h_1\) 和 \(h_2\) 都在 \(H\) 中，那么 \(h_1\cdot h_2\) 和 \(h_1^{-1}\) 也在 \(H\) 中。
所以 \(H\) 中的元素，和在 \(G\) 上的限制为 \(H\) 的群操作，形成了一个群体。
即，若 \((G,\cdot)\) 是群， \(H\) 是 \(G\) 的非空子集，且 \((H,\cdot)\) 也是群，则称 \((H, \cdot)\) 是 \((G,\cdot)\) 的子群。
子群检验法是群 \(G\) 的子集 \(H\) 是子集的充要条件：对于所有元素 \(g,h \in H\) 满足 \(g^{-1}\cdot h\in H\) 。
陪集
陪集（coset）是一个群的子集，它包含通过将群的一个固定元素，乘以给定子群的每个元素（左乘或右乘）得到的所有乘积。
在许多情况下，两个群元素可能是等价的。
例如，在正方形的对称群中，一旦进行了反射，仅靠旋转就不能使正方形回到原来的位置，
所以可以认为正方形的反射位置相互等价，而不等价于未反射的位置；旋转操作与是否进行了反射无关。
陪集被用来正式表达这个观点：
一个子群 \(H\) 决定了左右陪集，陪集可以说是 \(H\) 经过任何群元素 \(g\) 的变换（即左乘或右乘）
形式化地，包含元素 \(g\) 的 \(H\) 的左右陪集分别是 \[ \begin{aligned} & g H=\{g \cdot h \mid h \in H\} \\ & H g=\{h \cdot g \mid h \in H\} \end{aligned} \] 令 \([G : H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的左陪集数（等价于右陪集数）
共轭
如果群中有一个元素 \(g\) 使得 \(b = g^{-1}ag\) ，群的两个元素 \(a\) 和 \(b\) 是共轭的。
这是一个等价关系，其等价类称为等价类。
正规子群
正规子群是在共轭变换下不变的子群。
换句话说，如果对于所有 \(g \in G,~h \in H\) 都有 \(g^{-1} h g \in H\) ，则 \(H\) 为 \(G\) 的正规子群，记作 \(H \triangleleft G\)
生成子群
\(S \subset G\) 的生成子群 \(\langle S\rangle\) 是 \(G\) 的包含 \(S\) 的最小子群，也是 \(G\) 的包含 \(S\) 的所有子群的交，称 \(S\) 为群的生成集。
如果 \(G = \langle S \rangle\) ，我们称 \(S\) 生成 \(G\) ，\(S\) 中的元素叫作生成元或群生成元。
\(S\) 中只有一个元素 \(x\) 时， \(\langle S\rangle\) 通常写为 \(\langle x\rangle\) 。在这种情况下， \(\langle x\rangle\) 是 \(x\) 的幂的循环子群（即 \(\langle a\rangle = \{a^k,k\ge 1\}\)），我们称这个循环群是用 \(x\) 生成的。
商群
商群（quotient group）是通过使用保留一些群结构的等价关系，聚合跟大群的相似元素获得的群。
在某些情况下，子群的陪集可以被赋予群律，给出商群。为了使其成立，子群必须是正规子群。
给定任何正规子群 \(N\) ，商群定义为 \[ G / N = \{gN \mid g \in G\} \]
阶
群 \(G\) 的阶是它元素的个数，记作 \(\mathrm{ord}(G)\) 或 \(|G|\) ，无限群有无限阶。
群 \(G\) 内一个元素 \(a\) 的阶是使 \(a^m=e\) 成立的最小正整数 \(m\) ，记作 \(\mathrm{ord}(a)\) 或 \(|a|\) ，等于 \(\mathrm{ord}(\langle a \rangle)\) 。
若这个数不存在，则称 \(a\) 有无限阶。有限群的所有元素都有有限阶。
例如，群 \(Z_n^{\times}=\{a \in\{0,1, \cdots, n-1\} \mid \operatorname{gcd}(a, n)=1\}\) 的阶为 \(\varphi(n)\) ，
其中元素 \(x\) 的阶为满足 \(x^r \equiv 1\pmod{n}\) 的最小正整数 \(r\) （这正是数论中 \(x\) 模 \(n\) 的阶）
拉格朗日定理：如果 \(H\) 是 \(G\) 的子群，那么 \(|G| = [G : H] |H|\)
证明的简要思路是：（左/右）陪集大小等于子群大小；
而每个陪集要么不相交要么相等，且所有陪集的并是集合 \(G\) ；
那么陪集数就等于 \(G\) 与 \(H\) 的阶之比。
由拉格朗日定理可立即得到：
- 群中任意一个元素的阶，一定整除群的阶。
- 如果群 \(G\) 中存在两个元素 \(a,b\) 的阶 \(m,n\) 互素，那么 \(a^sb^t=e\) 当且仅当 \(a^s=e\) 并且 \(b^t=e\) 。
结论2的证明：
显然在 \(a^sb^t = e\) 成立的情况下，\(a^s=e\) 和 \(b^t = e\) 等价，所以不成立只能同时不成立。
考虑反证法。如果 \(a^sb^t=e\) ，但是两个部分 \(a^s,b^t\) 都不是单位元，那么 \(e=a^s m=b^{-t m}\) 。
因为 \(\gcd(-m,n) =1\) ，根据裴蜀定理或者乘法逆元，可以去掉 \(-m\) 得到 \(e = b^t\) ，矛盾
有关阶的常见误区：
群 \(G\) 的阶一定等于其中所有元素阶的最大值或 lcm ？
反例：二面体群 \(D_4\) （相当于群 \((\{0,1,2,3\},\oplus)\)）的阶是 \(4\) ，但除了 \(e\) 阶为 \(1\) ，其他元素的阶都是 \(2\) 。
如果群 \(G\) 中存在两个元素 \(x_1,x_2\) 的阶都是 \(d_1,d_2\) ，那么 \(G\) 中一定存在阶为 \(d = \operatorname{lcm}(d_1,d_2)\) 的元素
反例：对称群 \(S_3\) （相当于 \(X=\{1,2,3\}\) 的置换群）中存在阶为 \(2\) 和 \(3\) 的元素，但不存在阶为 \(6\) 的元素。
群的主要类别
置换群
置换群是第一类被系统性研究的群。
对于给定的集合 \(X\) ，设 \(G\) 为 \(X\) 到自身的一些置换集合，
如果 \(G\) 在复合运算和求逆运算下封闭，那么 \(G\) 是一个作用于 \(X\) 上的群。
循环群
循环群（记为 \(C_n\) ）是最简单的群。
群 \(G\) 中的任意一个元素 \(a\) 都可以表示为 \(a = g^k\) ，其中 \(k\) 为整数，称 \(g\) 为 \(G\) 的生成元。
同时，生成元 \(g\) 的阶就是群 \(G\) 的阶。
证明：
记 \(G\) 的单位元为 \(e\) ，阶为 \(m\)。由于 \(G\) 有限，对于生成元 \(g\) 不断做幂运算，必然会在某时重复，
即存在不同整数 \(i\) 和 \(j\) 使得 \(g^i = g^j\) 。两边同时去掉若干个 \(g\) 就有非 \(0\) 整数 \(n\) 使得 \(g^n=e\) 。显然 \(g^0=e\) 。
设生成元 \(g\) 的阶是 \(d\) 。\(G\) 中任意一个元素 \(a\) 都可以被表示为 \(g\) 的幂，因此 \(d\) 不可能小于 \(m\) 。
否则 \(g\) 的幂当中出现 \(d\) 个元素之后就回到了单位元 \(e\) ，剩余的元素就不能被 \(g\) 的幂表示，矛盾。
同样的， \(d\) 也不可能大于 \(m\) 。否则前 \(d\) 个 \(g\) 的幂中就会出现重复，存在不同的整数 \(i\) 和 \(j\) 使得 \(g^{i}=g^{j}\) 。
再得到 \(g^n=e\) ，\(n\) 介于 \(0\) 和 \(d\) 之间，就与 \(d\) 的最小性矛盾。因此 \(d = m\) 。证毕。
阶为 \(m\) 的有限循环群 \(G\) 同构于模 \(m\) 剩余类对于加法构成的群 \(Z_m\) 。
证明：
构造映射 \(f : Z_m \to G, f(n) = g^n\) ，可见 \(f\) 为双射，并且对于任意 \(i\) 和 \(j\) ，\(f(i+j)=g^{i}g^{j}\) 。\(\square\)
矩阵群
矩阵群（或线性群）是 \(G\) 为由给定 \(n\) 阶可逆矩阵组成的集合，该矩阵在域 \(K\) 上的乘积和逆矩阵下闭合。
这样的群通过线性变换作用于 \(n\) 维向量空间 \(K^n\) 。
矩阵群的常见例子为李群（Lie
group）。（你说得对，但是真的会考吗）
变换群
置换群和矩阵群是变换群（Transformation group）的特例。
群作用与某个空间 \(X\) 并保留其固有结构。在置换群的情况下， \(X\) 是集合；对于矩阵群， \(X\) 是向量空间。
变换群的概念与对称群的概念密切相关：变换群通常由保持某种结构的变换组成。
抽象群
抽象群（Abstract group）通常通过生成器和关系来表示 \[ G=\langle S \mid R\rangle \] 抽象群主要来源是通过正规子群 \(H\) 构造群 \(G\) 的商群 \(G / H\) 。
如果群 \(G\) 是 \(X\) 上的置换群，则商群 \(G/H\) 不再作用于 \(X\) ，但是抽象群的概念允许人们不必担心这种差异。
参考文献：
