群论基础
在数学和抽象代数中，群论（Group Theory）主要研究叫做「群」的代数结构。
群的定义
在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。
一个群是一个集合 $G$ 加上对 $G$ 的二元运算。二元运算用 $\cdot$ 表示，它结合了任意两个元素 $a,b$ 同时形成了一个属于 $G$ 的元素，记作 $a\cdot b$ 。
群公理包含下属四个性质（有时会略去封闭性）。
若集合 $G \ne \varnothing$ 和 $G$ 上的运算 $\cdot$ 构成的代数结构 $(G,\cdot)$ 满足以下性质：
- 封闭性：对于所有 $G$ 中的 $a,b$ ，运算 $a \cdot b$ 的结果也在 $G$ 中、
- 结合律：对于 $G$ 中的所有 $a,b,c$ ，等式 $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b \cdot c)$ 成立
- 单位元（也称幺元）：$G$ 中存在一个元素 $e$ ，使得对于 $G$ 中的每个元素 $a$ ，都有一个 $e \cdot a = a \cdot e = a$ 成立。这样的元素是独一无二的，它被称为群的单位元。
- 逆元：对于每个 $G$ 中的 $a$ ，总存在 $G$ 中的一个元素 $b$ 是 $a \cdot b = b \cdot a = e$ ，此处 $e$ 为单位元，称 $b$ 为 $a$ 的逆元，记为 $a^{-1}$ 。
则称 $(G, \cdot)$ 为一个群。例如，整数集和整数见的加法 $(\mathbb{Z},+)$ 构成一个群，单位元是 $0$ ，逆元即是相反数。
群的衍生结构
- 若代数结构 $(G, \cdot)$ 满足封闭性、结合律性质，则称 $(G,\cdot)$ 为一个半群。
- 若半群 $(G,\cdot)$ 还满足单位元性质，则称 $(G,\cdot)$ 为一个幺半群
- 若群 $(G, \cdot)$ 还满足交换律（即对于 $G$ 中所有的 $a,b$ ，等式 $a\cdot b = b \cdot a$ 成立），则称 $(G,\cdot)$ 为一个阿贝尔群（Abelian group），又称交换群。
环
形式上，环（ring）是集合 $R$ 及对 $R$ 的两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 所组成的，满足如下性质的代数结构 $(R,+,\cdot)$ ：
- $(R,+)$ 构成交换群，其单位元记为 $0$ ，$R$ 中元素 $a$ 的加法逆元记为 $-a$ 。
- $(R,\cdot)$ 构成半群。
- 分配律：对于 $R$ 中所有的 $a,b,c$ ，等式 $a \cdot(b + c) = a \cdot b + a\cdot c$ 和 $(a + b)\cdot c = a\cdot c + b \cdot c$ 成立
在抽象代数中，研究环的分支为环论，在这里只是稍作介绍。
注意：在有的定义中（例如维基百科），环必须存在乘法单位元；相对地，不存在乘法单位元的则被称为 伪环（rng 或 pseudo-ring）。遇到的时候需根据上下文加以判断。
维基百科定义如下：
In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a rng (IPA:/rʊŋ/). For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term “ring” without requiring a multiplicative identity.
环的衍生结构
- 若环 $R$ 上的乘法还满足交换律，则称 $R$ 为交换环。
- 若环 $R$ 存在乘法单位元一，则称 $R$ 为幺环（ring with identity）
- 若幺环 $R$ 的所有非 $0$ 元素 $a$ 存在乘法逆元 $a^{-1}$ ，则称 $R$ 为除环（division ring）
域
域（field）是一个比环性质更强的代数结构，具体地，域是交换除环。
域的研究方法和环大不相同。在抽象代数中，研究域的分支是域论。当然这里也只是简单介绍。
群的基本概念
不妨定义 $X=x,y,z$ 为包含 $x,y,z$ 元素的集合 $X$ 。 $x \in X$ 表示 $x$ 属于 $X$ 。
$f : X \rightarrow Y$ 表示 $f$ 是一个与 $X$ 的每个元素和 $Y$ 的元素相关联的函数。
在研究集合时，我们使用子集、函数和等价关系商等概念。
在研究群时，我们通过等价关系用子群、同态和商群来代替。
群同态
群同态是保持群结构的函数，可用于关联两个群
从群 $(G,\cdot)$ 到群 $(H,*)$ 的同态是一个函数 $\varphi:G \to H$ 使得对于 $G$ 中所有的元素 $a$ 和 $b$ 有
子群
子群是包含在更大的群 $G$ 内的一个群 $H$ 。它具有 $G$ 的元素的子集和相同操作。
这意味着 $G$ 的单位元素必须包含在 $H$ 中，并且每当 $h_1$ 和 $h_2$ 都在 $H$ 中，那么 $h_1\cdot h_2$ 和 $h_1^{-1}$ 也在 $H$ 中。
所以 $H$ 中的元素，和在 $G$ 上的限制为 $H$ 的群操作，形成了一个群体。
即，若 $(G,\cdot)$ 是群， $H$ 是 $G$ 的非空子集，且 $(H,\cdot)$ 也是群，则称 $(H, \cdot)$ 是 $(G,\cdot)$ 的子群。
子群检验法是群 $G$ 的子集 $H$ 是子集的充要条件：对于所有元素 $g,h \in H$ 满足 $g^{-1}\cdot h\in H$ 。
陪集
陪集（coset）是一个群的子集，它包含通过将群的一个固定元素，乘以给定子群的每个元素（左乘或右乘）得到的所有乘积。
在许多情况下，两个群元素可能是等价的。
例如，在正方形的对称群中，一旦进行了反射，仅靠旋转就不能使正方形回到原来的位置，
所以可以认为正方形的反射位置相互等价，而不等价于未反射的位置；旋转操作与是否进行了反射无关。
陪集被用来正式表达这个观点：
一个子群 $H$ 决定了左右陪集，陪集可以说是 $H$ 经过任何群元素 $g$ 的变换（即左乘或右乘）
形式化地，包含元素 $g$ 的 $H$ 的左右陪集分别是
令 $[G : H]$ 表示 $G$ 中 $H$ 的左陪集数（等价于右陪集数）
共轭
如果群中有一个元素 $g$ 使得 $b = g^{-1}ag$ ，群的两个元素 $a$ 和 $b$ 是共轭的。
这是一个等价关系，其等价类称为等价类。
正规子群
正规子群是在共轭变换下不变的子群。
换句话说，如果对于所有 $g \in G,~h \in H$ 都有 $g^{-1} h g \in H$ ，则 $H$ 为 $G$ 的正规子群，记作 $H \triangleleft G$
生成子群
$S \subset G$ 的生成子群 $\langle S\rangle$ 是 $G$ 的包含 $S$ 的最小子群，也是 $G$ 的包含 $S$ 的所有子群的交，称 $S$ 为群的生成集。
如果 $G = \langle S \rangle$ ，我们称 $S$ 生成 $G$ ，$S$ 中的元素叫作生成元或群生成元。
$S$ 中只有一个元素 $x$ 时， $\langle S\rangle$ 通常写为 $\langle x\rangle$ 。在这种情况下， $\langle x\rangle$ 是 $x$ 的幂的循环子群（即 $\langle a\rangle = \{a^k,k\ge 1\}$），我们称这个循环群是用 $x$ 生成的。
商群
商群（quotient group）是通过使用保留一些群结构的等价关系，聚合跟大群的相似元素获得的群。
在某些情况下，子群的陪集可以被赋予群律，给出商群。为了使其成立，子群必须是正规子群。
给定任何正规子群 $N$ ，商群定义为
阶
群 $G$ 的阶是它元素的个数，记作 $\mathrm{ord}(G)$ 或 $|G|$ ，无限群有无限阶。
群 $G$ 内一个元素 $a$ 的阶是使 $a^m=e$ 成立的最小正整数 $m$ ，记作 $\mathrm{ord}(a)$ 或 $|a|$ ，等于 $\mathrm{ord}(\langle a \rangle)$ 。
若这个数不存在，则称 $a$ 有无限阶。有限群的所有元素都有有限阶。
例如，群 $Z_n^{\times}=\{a \in\{0,1, \cdots, n-1\} \mid \operatorname{gcd}(a, n)=1\}$ 的阶为 $\varphi(n)$ ，
其中元素 $x$ 的阶为满足 $x^r \equiv 1\pmod{n}$ 的最小正整数 $r$ （这正是数论中 $x$ 模 $n$ 的阶）
拉格朗日定理：如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么 $|G| = [G : H] |H|$
证明的简要思路是：（左/右）陪集大小等于子群大小；
而每个陪集要么不相交要么相等，且所有陪集的并是集合 $G$ ；
那么陪集数就等于 $G$ 与 $H$ 的阶之比。
由拉格朗日定理可立即得到：
- 群中任意一个元素的阶，一定整除群的阶。
- 如果群 $G$ 中存在两个元素 $a,b$ 的阶 $m,n$ 互素，那么 $a^sb^t=e$ 当且仅当 $a^s=e$ 并且 $b^t=e$ 。
结论2的证明：
显然在 $a^sb^t = e$ 成立的情况下，$a^s=e$ 和 $b^t = e$ 等价，所以不成立只能同时不成立。
考虑反证法。如果 $a^sb^t=e$ ，但是两个部分 $a^s,b^t$ 都不是单位元，那么 $e=a^s m=b^{-t m}$ 。
因为 $\gcd(-m,n) =1$ ，根据裴蜀定理或者乘法逆元，可以去掉 $-m$ 得到 $e = b^t$ ，矛盾
有关阶的常见误区：
群 $G$ 的阶一定等于其中所有元素阶的最大值或 lcm ？
反例：二面体群 $D_4$ （相当于群 $(\{0,1,2,3\},\oplus)$）的阶是 $4$ ，但除了 $e$ 阶为 $1$ ，其他元素的阶都是 $2$ 。
如果群 $G$ 中存在两个元素 $x_1,x_2$ 的阶都是 $d_1,d_2$ ，那么 $G$ 中一定存在阶为 $d = \operatorname{lcm}(d_1,d_2)$ 的元素
反例：对称群 $S_3$ （相当于 $X=\{1,2,3\}$ 的置换群）中存在阶为 $2$ 和 $3$ 的元素，但不存在阶为 $6$ 的元素。
群的主要类别
置换群
置换群是第一类被系统性研究的群。
对于给定的集合 $X$ ，设 $G$ 为 $X$ 到自身的一些置换集合，
如果 $G$ 在复合运算和求逆运算下封闭，那么 $G$ 是一个作用于 $X$ 上的群。
循环群
循环群（记为 $C_n$ ）是最简单的群。
群 $G$ 中的任意一个元素 $a$ 都可以表示为 $a = g^k$ ，其中 $k$ 为整数，称 $g$ 为 $G$ 的生成元。
同时，生成元 $g$ 的阶就是群 $G$ 的阶。
证明：
记 $G$ 的单位元为 $e$ ，阶为 $m$。由于 $G$ 有限，对于生成元 $g$ 不断做幂运算，必然会在某时重复，
即存在不同整数 $i$ 和 $j$ 使得 $g^i = g^j$ 。两边同时去掉若干个 $g$ 就有非 $0$ 整数 $n$ 使得 $g^n=e$ 。显然 $g^0=e$ 。
设生成元 $g$ 的阶是 $d$ 。$G$ 中任意一个元素 $a$ 都可以被表示为 $g$ 的幂，因此 $d$ 不可能小于 $m$ 。
否则 $g$ 的幂当中出现 $d$ 个元素之后就回到了单位元 $e$ ，剩余的元素就不能被 $g$ 的幂表示，矛盾。
同样的， $d$ 也不可能大于 $m$ 。否则前 $d$ 个 $g$ 的幂中就会出现重复，存在不同的整数 $i$ 和 $j$ 使得 $g^{i}=g^{j}$ 。
再得到 $g^n=e$ ，$n$ 介于 $0$ 和 $d$ 之间，就与 $d$ 的最小性矛盾。因此 $d = m$ 。证毕。
阶为 $m$ 的有限循环群 $G$ 同构于模 $m$ 剩余类对于加法构成的群 $Z_m$ 。
证明：
构造映射 $f : Z_m \to G, f(n) = g^n$ ，可见 $f$ 为双射，并且对于任意 $i$ 和 $j$ ，$f(i+j)=g^{i}g^{j}$ 。$\square$
矩阵群
矩阵群（或线性群）是 $G$ 为由给定 $n$ 阶可逆矩阵组成的集合，该矩阵在域 $K$ 上的乘积和逆矩阵下闭合。
这样的群通过线性变换作用于 $n$ 维向量空间 $K^n$ 。
矩阵群的常见例子为李群（Lie group）。（你说得对，但是真的会考吗）
变换群
置换群和矩阵群是变换群（Transformation group）的特例。
群作用与某个空间 $X$ 并保留其固有结构。在置换群的情况下， $X$ 是集合；对于矩阵群， $X$ 是向量空间。
变换群的概念与对称群的概念密切相关：变换群通常由保持某种结构的变换组成。
抽象群
抽象群（Abstract group）通常通过生成器和关系来表示
抽象群主要来源是通过正规子群 $H$ 构造群 $G$ 的商群 $G / H$ 。
如果群 $G$ 是 $X$ 上的置换群，则商群 $G/H$ 不再作用于 $X$ ，但是抽象群的概念允许人们不必担心这种差异。
参考文献：
