嘘~ 正在从服务器偷取页面 . . .

拉格朗日定理

发布日期: 2024-01-25

更新日期: 2024-02-07

文章字数: 401

拉格朗日定理

拉格朗日定理（数论）

设 \(p\) 为素数，对于模 \(p\) 意义下的整系数多项式 \[ f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_0 \,(p \not\mid a_n) \] 的同余方程 \(f(x)\equiv 0 \pmod{p}\) 在模 \(p\) 意义下至多有 \(n\) 个不同解。

证明：

考虑对 \(n\) 归纳法证明。当 \(n=0\) 时，由于 \(p \not\mid a_0\) ，

故 \(f(x) \equiv 0 \pmod{p}\) 无解，定理对 \(n=0\) 的多项式 \(f(x)\) 都成立。

若命题对于 \(\operatorname{deg} f < n\) 的 \(f\) 都成立（这里 \(\operatorname{deg}\) 表示多项式的次数）

由反证法，假设存在一个满足题目条件的 \(f\) 在模 \(p\) 意义下有着至少 \(n + 1\) 个不同的解 \(x_0,x_1,\cdots,x_n\) 。

可设 \(f(x) - f(x_0) = (x - x_0) g(x)\) ，则 \(g(x)\) 在模 \(p\) 意义下是一个至多 \(n-1\) 次的多项式。

现在由 \(x_0,x_1,\cdots,x_n\) 都是 \(f(x) \equiv 0 \pmod{p}\) 的解，可知对 \(i=1,2,\cdots,n\) ，有 \[ \left(x_i-x_0\right) g\left(x_i\right) \equiv f\left(x_i\right)-f\left(x_0\right) \equiv 0 \pmod{p} \] 而 \(x_i \not\equiv x_0 \pmod{p}\) ，故 \(g(x_i) \equiv 0 \pmod{p}\) ，从而 \(g(x_i) \equiv 0 \pmod{p}\) 有至少 \(n\) 个根，与假设矛盾。

因此命题对于 \(n\) 次多项式也成立。证毕。