小蓝书 16.1 题解
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一、加法原理和乘法原理
例1
从 $1,2,3,\cdots,100$ 中取 $3$ 个数，使这 $3$ 个数恰好成等差数列的不同取法有_______种。
解法1：
设取出的 $3$ 个数构成首项为 $a$ ，公差为 $d$ 的等差数列：
则 $a+2d \le 100$ ，则
整理一下就是
对于每个确定的 $d$ ，$a$ 都有 $100-2d$ 种取法，则答案为
解法2
设取出的 $3$ 个数分别为 $a_1,a_2,a_3$ ，它们构成公差为 $d$ 的等差数列
于是 $a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}$ 可被 $a_1,a_3$ 唯一确定，且 $a_1,a_3$ 的奇偶性相同
- 若 $a_1$ 与 $a_3$ 同为偶数，则有 $\mathrm{C}_{50}^{2}$ 种取法
- 若 $a_1$ 与 $a_3$ 同为计数，则有 $\mathrm{C}_{50}^{2}$ 种取法
则共有 $2 \times \mathrm{C}_{50}^2$ 种取法。
例2
已知集合 $A = \{x \mid 5x - a \le 0\}, B = \{x \mid 6x - b > 0\}, a,b \in \mathbb{N}$ 且 $A\cap B\cap\mathbb{N} = \{2,3,4\}$ ，求整数对 $(a,b)$ 的个数。
解：根据 $A,B$ 定义，可以得到
即
所以答案就是 $\mathrm{C}_{5}^1\mathrm{C}_6^{1} = 30$ 。
二、无重复的排列与组合
例3
现安排 $7$ 名同学参加 $5$ 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一项目，每个项目都有人参加，每人只能参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 __________ 。
解法1：
分类讨论（其实这里广泛用到了容斥原理，或者说俗称的“间接法”）
有一个项目有 $3$ 人参加时，若不考虑甲乙是否参加同一项目，则有 $\mathrm{C}_{7}^3\times 5!$ 种方案。
其中甲乙两人都参加 $3$ 人项目时，有 $\mathrm{C}_5^1\times 5!$ ，故这种情况的方案数为
有两个项目各有 $2$ 人参加时，若不考虑甲乙是否参加同一项目，则有 $\frac{1}{2}\mathrm{C}_{7}^2\mathrm{C}_{5}^2\times5!$ 种方案
其中甲乙两人参加同一项目时，共有 $\mathrm{C}_{5}^2\times 5!$ ，故这种情况的方案数为
因此总方案数为 $3600 + 11400 = 15000$ 种。
解法2：
小蓝书上这种解法有点过于麻烦和重复了，我就不写了。
解法3：
哎，每次都只会这个，啥时候改改。（$S$ 表示第二类斯特林数）
三、可重复的排列与组合
例4
共有 $7$ 种面额的某国纸币（每种数量不限），求取 $10$ 张纸币的方案数。
解：套可重组合数公式
例5
将 $3$ 面红旗、$4$ 面蓝旗、$2$ 面黄旗一次悬挂在旗杆上，问可以组成多少种不同的标志
解：套多重组合数公式
例6
从 $n(n \ge 6)$ 名乒乓球选手中选拔出 $3$ 对选手准备参加双打比赛，问共有多少种不同的方案。
提示：本题中 $3$ 对选手没有标号之分。
解：套多组组合公式
未完待续
