Q779’s Blog

圆幂 (Power of a point) 在几何中，圆幂 (Power of a point) 是一个用于表示给定点与给定圆相对距离的实数。 具体地说，点 \(P\) 的圆幂 \(\Pi(P)\) 由给定圆 \(c\) 的圆心 \(O\) 即半径 \(r\) 定义 \[ \Pi(P) = |PO|^2 - r^2 \] 若 \(P\) 在圆外，则 \(\Pi(P) > 0\) 。 若 \(P\) 在圆上，则 \(\Pi(P) = 0\) 。 若 \(P\) 在圆内，则 \(\Pi(P) < 0\) 。 后面的到时候补吧。咕咕咕… 参考文献： [1] 部分翻译自 Power of a point - Wikipedia

椭圆方程 一、椭圆的定义 平面内与两个定点 \(F_1,F_2\) 的距离的和等于常数（大于 \(|F_1F_2|\) ）的点的轨迹叫作椭圆。 这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离，即 \(|F_1F_2|\) 叫作椭圆的焦距。 特别地，当距离的和为 \(|F_1F_2|\) 时，轨迹不是椭圆，而是线段 \(F_1F_2\) 。 二、椭圆的标准方程 下面的建系方式运算较为方便，所以一般椭圆都采用这种方式建系。 设焦点 \(F_1(-c,0),F_2(c,0)\) ，此时焦点在 \(x\) 轴上，则椭圆的标准方程为 \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0, ~b^2 = a^2-c^2) \] 设焦点 \(F_1(0,-c),F_2(0,c)\) ，此时焦点在 \(y\) 轴上，则椭圆的标准方程为 \[ \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\quad(a>b>0, ~b^2 = a^2-c^2) \] 这里不仅是令 \(b^2 = a^2 - c^2\) ，\(b\...

【生物】人为什么不能只吃脂肪而不吃糖类？ 总结：脑子会变笨，所以要吃点糖类。 大脑只能利用葡萄糖而不能利用脂肪酸供能，主要原因是脂肪酸分子较大不能透过血脑屏障。 因此只吃脂肪不吃糖的人来说，身体会通过另一过程（即酮体生成途径，如图）生成酮体 肝脏会将脂肪加工成酮体并释放到血液中，来供给大脑和其他组织能量。 与脂肪酸不同，酮体是可以透过血脑屏障给大脑供能的，可以说： 对于大脑来说，酮体是除了葡萄糖之外的第二供能物质 而吃脂肪的人的大脑会反应慢，可能就在于大脑还没适应利用酮体。

圆幂定理 圆幂定理 (circle power theorem) ，是平面几何中的一个定理。 该定理指出，给定一个圆 \(\Gamma\) 以及一点 \(P\) ，从该点引出两条割线，分别与 \(\Gamma\) 相交于 \(A,B\) 以及 \(C,D\) ，则有 \[ |P A| \times |P B|=|P C| \times |P D| \] 这个乘积，是 \(P\) 对于 \(\Gamma\) 的圆幂 (circle power) ，故定理以此为名。 一、定理内容 咕咕咕…. 参考文献： [1] 圆幂定理 - 维基百科，自由的百科全书

【生物】葡萄糖为何只能单向转化为脂肪？ 本文属于拓展文章，高考不用掌握。 总结一下，大概的原因就是产生的物质不可逆转化，说了等于没说。 一、葡萄糖转化为脂肪 葡萄糖多了会转化成脂肪，主要是由于血糖的升高引起胰岛素的分泌， 对脂肪细胞和肌肉细胞（这两种细胞占到人体细胞总数的 \(\frac{2}{3}\) ）发起信号： 一方面这两种细胞会主动摄取血液中的葡萄糖而让血糖恢复平稳 另一方面胰岛素信号还能使丙酮酸和柠檬酸更多转化为乙酰辅酶A 乙酰辅酶A是脂肪酸合成的原材料，刺激甘油三酯的合成过程，最终会膨大的脂肪组织和肌内脂肪堆积。 二、脂肪转化为葡萄糖 脂肪只有一小部分可以转化为葡萄糖 即「脂肪（甘油三酯）中的甘油残基」可以通过脂解作用形成甘油，然后运回肝脏合成葡萄糖。 其余部分，即「脂肪酸」只能与糖类线粒体氧化供能，如下图所示：（多数细胞中的情况）

MacOS 主机名 & hostname & ComputerName 区别 及 scutil 指令的使用 咕咕咕，待写。 参考文献： [1] 搞懂 macOS 上的主机名/hostname/ComputerName - 格物

切点弦方程 这里的结论在高考的大题中可以直接用。 一、弦长公式 设直线 \(l\) 交圆锥曲线于 \(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)\) 连线，已知斜率为 \(k\) ，则切点弦 \(AB\) 有 \[ \begin{aligned} |AB| &= \sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \\[6pt]&= \textstyle\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| \end{aligned} \] 如何理解？ 画张图就知道了，\(|x_1-x_2|\) 就是三角形的底边长度， \(\sqrt{1+k^2}\) 就是斜边和底边的比例，乘一下就是 \(AB\) 的长度了 用法： 这里以圆举例。考虑将直线方程与圆的方程组成方程组 将方程组 \(\left\{\begin{array}{l}y = kx + m \\ (x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r^2\end{array}\right.\) 消元后得一元二次方程 由一元二次方程中根与系数的关系可得 \(x...

洛谷P1896 [SCOI2005] 互不侵犯 题解 题目链接：P1896 [SCOI2005] 互不侵犯 题意： 在 \(n \times n\) 的棋盘里面放 \(K\) 个国王，并使他们互不攻击，求合法摆放方案数。 国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 \(8\) 个格子。 输入格式： 一行，包含两个数 \(n,k~(1 \le n \le 9, 0 \le K \le n^2)\) 输出格式： 所得的方案数。 退役后的第一篇题解，作为复习（？ 简单的状压dp。设 \(f_{i,j,k}\) 表示第 \(i\) 行的状态为 \(j\) （ \(j\) 必须自身合法 ），且已经用了 \(k\) 个国王的方案数 \[ \large f_{i,j,k} =\sum f_{i-1,l,k-\mathrm{popc}(j)} \] 其中 \(l\) 为上一行的状态，且 \(l,j\) 没有“相接”的地方，\(\mathrm{popc}(j)\) 表示这一行放了 \(j\) 个国王。 答案就是 \(\sum f_{n,i,K}\) ，其中 \(...

圆的方程 一、圆的标准方程 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。 则以 \((a,b)\) 为圆心，\(r\) 为半径的圆的标准方程为 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ~(r > 0)\) 特别地，单位圆为 \(x^2 + y^2 = r^2\) 。 二、圆的一般方程 方程 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\left(D^2+E^2-4 F>0\right)\) 叫作圆的一般方程。 转换为标准方程为 \[ \left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4 F}{4} \] 当 \(D^2+E^2-4 F>0\) 时， \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\) 表示一个圆。 这时圆心为 \(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\) ，圆的半径为 \(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4 F}}{2}\) 。 当 \(D^2+E^2-4 F=0\...

极值 在数学中，极值是极大值与极小值的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。 而「使函数取得极值的点」的横坐标被称作极值点。（注意极值点是一个数，不是一个点） 这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。 一、极值的定义 局部（相对）最大值：如果存在一个 \(\varepsilon>0\) ，使得所有满足 \(\left|x-x_0\right|<\varepsilon\) 的 \(x\) 都有 \(f\left(x_0\right) \geq f(x)\) ，我们就把点 \(x_0\) 对应的函数值 \(f\left(x_0\right)\) 称为一个函数 \(f\) 的局部最大值。从函数图像上看，局部最大值就像是山顶。 局部（相对）最小值：如果存在一个 \(\varepsilon>0\) ，使得所有满足 \(\left|x-x_0\right|<\varepsilon\) 的 \(x\) 都有 \(f\left(x_0\right) \leq f(x)\) ，我们就把点 \(x_0\) 对应的...

note[9] 问：（来自link） 定义在 \(\mathbb{R}\) 上的连续函数在 \(x=a\) 处不可导，那么它在 \(a\) 处可以有切线吗？ 解： 需要区分的是，切线是几何概念，导数是代数概念 「函数在 \(x=a\) 处可导」是「函数在 \(x=a\) 处存在切线」的充分不必要条件。 也就是说，存在一种情况使得函数在该点处有切线，但不可导，即无穷导数。 打个比方，考察曲线 \(y = \sqrt[3]{x}\) 在 \(x = 0\) 时，易得此时 \(y^{\prime} = \infty\) ，这表明函数在这点不可导 但是 \(x=0\) 处是存在切线的，因为按切线的定义，曲线一端固定在 \((0,0)\) ，另一端无限接近 \((0,0)\) 其极限位置将稳定在 \(y\) 轴处，也就是说这点的切线为直线 \(x=0\) 。

函数的单调性 一、函数的单调性与导数 在某个区间 \((a, b)\) 上，如果 \(f^{\prime}(x)>0\) ，那么函数 \(y=f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上单调递增。（充分不必要条件） 在某个区间 \((a, b)\) 上，如果 \(f^{\prime}(x)<0\) ，那么函数 \(y=f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上单调递减。（充分不必要条件） 特别地，当 \(f^{\prime}(x) \le 0\) 或 \(f^{\prime}(x) \ge 0\) 时，对应了函数的非递增区间与非递减区间。高中大概不会涉及。 下图其实很好地说明了导数与定积分的关系，也很直观地表现了导数和单调性的关系（自己画的真会吹） 二、利用导数求函数的单调区间 求函数的单调区间，其实就是解不等式 \(f^{\prime}(x) > 0\) 或 \(f^{\prime}(x) < 0\) ，其解集即为所求的单调区间。 常用步骤如下： 求出函数 \(f(x)\) 的定义域 求出 \(f^{\prime}(x)\) 解不等式 \(f...