Q779’s Blog

圆的方程 一、圆的标准方程 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。 则以 \((a,b)\) 为圆心，\(r\) 为半径的圆的标准方程为 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ~(r > 0)\) 特别地，单位圆为 \(x^2 + y^2 = r^2\) 。 二、圆的一般方程 方程 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\left(D^2+E^2-4 F>0\right)\) 叫作圆的一般方程。 转换为标准方程为 \[ \left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4 F}{4} \] 当 \(D^2+E^2-4 F>0\) 时， \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\) 表示一个圆。 这时圆心为 \(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\) ，圆的半径为 \(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4 F}}{2}\) 。 当 \(D^2+E^2-4 F=0\...

极值 在数学中，极值是极大值与极小值的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。 而「使函数取得极值的点」的横坐标被称作极值点。（注意极值点是一个数，不是一个点） 这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。 一、极值的定义 局部（相对）最大值：如果存在一个 \(\varepsilon>0\) ，使得所有满足 \(\left|x-x_0\right|<\varepsilon\) 的 \(x\) 都有 \(f\left(x_0\right) \geq f(x)\) ，我们就把点 \(x_0\) 对应的函数值 \(f\left(x_0\right)\) 称为一个函数 \(f\) 的局部最大值。从函数图像上看，局部最大值就像是山顶。 局部（相对）最小值：如果存在一个 \(\varepsilon>0\) ，使得所有满足 \(\left|x-x_0\right|<\varepsilon\) 的 \(x\) 都有 \(f\left(x_0\right) \leq f(x)\) ，我们就把点 \(x_0\) 对应的...

note[9] 问：（来自link） 定义在 \(\mathbb{R}\) 上的连续函数在 \(x=a\) 处不可导，那么它在 \(a\) 处可以有切线吗？ 解： 需要区分的是，切线是几何概念，导数是代数概念 「函数在 \(x=a\) 处可导」是「函数在 \(x=a\) 处存在切线」的充分不必要条件。 也就是说，存在一种情况使得函数在该点处有切线，但不可导，即无穷导数。 打个比方，考察曲线 \(y = \sqrt[3]{x}\) 在 \(x = 0\) 时，易得此时 \(y^{\prime} = \infty\) ，这表明函数在这点不可导 但是 \(x=0\) 处是存在切线的，因为按切线的定义，曲线一端固定在 \((0,0)\) ，另一端无限接近 \((0,0)\) 其极限位置将稳定在 \(y\) 轴处，也就是说这点的切线为直线 \(x=0\) 。

函数的单调性 一、函数的单调性与导数 在某个区间 \((a, b)\) 上，如果 \(f^{\prime}(x)>0\) ，那么函数 \(y=f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上单调递增。（充分不必要条件） 在某个区间 \((a, b)\) 上，如果 \(f^{\prime}(x)<0\) ，那么函数 \(y=f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上单调递减。（充分不必要条件） 特别地，当 \(f^{\prime}(x) \le 0\) 或 \(f^{\prime}(x) \ge 0\) 时，对应了函数的非递增区间与非递减区间。高中大概不会涉及。 下图其实很好地说明了导数与定积分的关系，也很直观地表现了导数和单调性的关系（自己画的真会吹） 二、利用导数求函数的单调区间 求函数的单调区间，其实就是解不等式 \(f^{\prime}(x) > 0\) 或 \(f^{\prime}(x) < 0\) ，其解集即为所求的单调区间。 常用步骤如下： 求出函数 \(f(x)\) 的定义域 求出 \(f^{\prime}(x)\) 解不等式 \(f...

MacOS 自动将截图导入相册 很有趣的是，最近准备补文化课，然后发现 GoodNotes 只能导入相册里的图。 真不知道 MacOS 的相册有啥用，又不拍照，于是就有了这篇文章。 操作系统：MacOS Ventura 13.0.1 所需软件：Snipaste（仅作演示） + 自动操作（Mac自带） 准备工作 首先我们要创建一个文件夹，用于自动存储截图。 下图使用的是 Snipaste，只需开启自动保存即可。 开始配置 打开“自动操作”，然后拖动左侧的项目，拼接到右侧，如下图所示。 这个文件默认放在 /Users/xxx/Library/Workflows/Applications/Folder Actions/ 内 大概不放在这里就不会运行，具体原理我不清楚，不过试了一下是这样的

正态分布 本文仅涉及高中数学部分，但是掺杂了一些拓展的。 正态分布的概率密度函数（均值为 \(\mu\) 方差为 \(\sigma^2\) ）是高斯函数的一个实例。 \[ f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot \exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)(x ,\mu , \sigma \in \mathbb{R},\sigma > 0) \] 称函数 \(f(x)\) 的图像为正态密度曲线，简称正态曲线。 若随机变量 \(X\) 服从这个分布，则称 \(X\) 服从正态分布，记作 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) 。 特别地，若 \(\mu = 0\) 且 \(\sigma = 1\) ，则这个分布被称为标准正态分布，这个分布能简化为 \[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \exp \left(-\frac{x^2}{2}\right) \] 随机变量 \(X\) 落在区间 \((a,b]\) 的概率...

超几何分布 一般地，假设一批产品共有 \(N\) 件，其中有 \(M\) 件次品，从 \(N\) 件产品中随机抽取 \(n\) 件（不放回），用 \(X\) 表示抽取的 \(n\) 件产品中的次品数，则 \(X\) 的分布列为 \[ \begin{aligned} \mathrm{Pr}(X=k)=\frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} &&(0 \uparrow n - N -M) \le k \le (n\downarrow M) \end{aligned} \] 如果随机变量 \(X\) 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 \(X\) 服从超几何分布，记作 \(X \sim H(n, M, N)\)。 超几何分布的性质 期望： \[ \mathrm{E}(X) = \frac{nM}{N} = np \] 方差： \[ \mathrm{Var}(X) = \frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)} \]

CF1399E1 Weights Division (easy version) 题解 题目链接：CF1399E1 Weights Division (easy version) 题意： 给定一棵以 \(1\) 号点为根的带权有根树。 树是一个无环连通图。有根树有一个被称作根的特殊节点。在从根到节点 \(v\) 的路径上，最后一个不同于 \(v\) 的节点被称作节点 \(v\) 的父亲节点。以节点 \(v\) 为父亲的节点称为节点 \(v\) 的儿子节点。若一个节点没有任何儿子，则称它为叶子节点。带权树上的边带有权值。 定义一条路径的权值为这条路径上所有边的权值之和。特别地，一条从某个节点到它自己的路径权值为 \(0\)。 你可以进行一系列的操作，操作零次或多次。对于每次操作，你可以选择任意一条边，将其权值除以 \(2\)（向下取整）。更正式地说，在每次操作中，你可以选择一条边 \(i\)，使得这条边的权值 \(w_i\) 变成 \(\lfloor \frac{w_i}{2} \rfloor\)。 你的任务是找到最小操作数，以满足所有从根到叶子的路径的权值之和不超过 \(S\)...

洛谷P1347 排序 题解 题目链接：P1347 排序 题意： 一个不同的值的升序排序数列指的是一个从左到右元素依次增大的序列，例如，一个有序的数列 \(A,B,C,D\) 表示\(A<B,B<C,C<D\)。在这道题中，我们将给你一系列形如 \(A<B\) 的关系，并要求你判断是否能够根据这些关系确定这个数列的顺序。 输入格式： 第一行有两个正整数 \(n,m\)，\(n\) 表示需要排序的元素数量，\(2\leq n\leq 26\)，第 \(1\) 到 \(n\) 个元素将用大写的 \(A,B,C,D\dots\) 表示。\(m\) 表示将给出的形如 \(A<B\) 的关系的数量。 接下来有 \(m\) 行，每行有 \(3\) 个字符，分别为一个大写字母，一个 < 符号，一个大写字母，表示两个元素之间的关系。 输出格式： 若根据前 \(x\) 个关系即可确定这 \(n\) 个元素的顺序 yyy..y（如 ABC），输出 Sorted sequence determined after xxx relations: yyy...y. 若根...

洛谷P4742 [Wind Festival]Running In The Sky 题解 题目链接：P4742 [Wind Festival]Running In The Sky 题意： 一天的活动过后，所有学生都停下来欣赏夜空下点亮的风筝。cxy 想要以更近的视角感受一下，所以她跑到空中的风筝上去了（这对于一个妹子来说有点匪夷所思）！ 每只风筝上的灯光都有一个亮度 \(k_i\) 。由于风的作用，一些风筝缠在了一起。但是这并不会破坏美妙的气氛，缠在一起的风筝会将灯光汇聚起来，形成更亮的光源！ cxy 已经知道了一些风筝间的关系，比如给出一对风筝 \((a,b)\) ，这意味着她可以从 \(a\) 跑到 \(b\) 上去，但是不能返回。 现在，请帮她找到一条路径（她可以到达一只风筝多次，但只在第一次到达时她会去感受上面的灯光），使得她可以感受到最多的光亮。同时请告诉她这条路径上单只风筝的最大亮度，如果有多条符合条件的路径，输出能产生最大单只风筝亮度的答案。 输入格式： 第一行两个整数 \(n\) 和 \(m\) 。\(n\) 是风筝的数量，\(m\) 是风筝间关系对的数量。 接...

ubuntu vscode 配置文件 缺省源见 MacOS vscode 缺省源&配置文件 c_cpp_properties.json { "configurations": [ { "name": "Linux", "includePath": [ "${workspaceFolder}/**" ], "defines": [], "compilerPath": "/usr/bin/gcc", "cStandard": "c11", "cppStandard": "c++17", "intelliSenseMode": "clang-x64" } ], "version": 4 } launch.json { // 使...

数论分块 学习笔记 设函数 \(f,g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) ，并且 前缀和 \(S_r-S_{l-1}\) 可以在 \(\mathcal{O}(1)\) 计算，其中 \(S_i = \sum_{j=1}^{i} f(j),~S_0 = 0\) 。 \(g(i)\) 形如 \(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\) ，有时候也可以形如 \(\left\lfloor\dfrac{m}{ki+b}\right\rfloor\) ，总之取值具有阶梯状分布的特点。 数论分块可以在 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 的复杂度内计算形如 \(\sum_{i=1}^n f(i) g(i)\) 的和式。 数学原理 证明详见参考文献[1]，以及这里一段可以直接跳过，见算法流程 引理1： \[ \forall a, b, c \in \mathbb{Z},~\left\lfloor\frac{a}{b c}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{\left\lfloor\fr...