海伦公式（Heron’s formula）

假设有一个三角形，边长分别为 \(a,b,c\) ，则三角形面积 \(S\) 可由以下公式求得 \[ \begin{array}{} S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}&\text{where }s=\dfrac{a+b+c}{2} \end{array} \]

证明：

设三角形的三边 \(a,b,c\) 的对角分别为 \(A,B,C\) 。

根据余弦定理可知 \[ \cos C =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \] 根据三角函数的各种公式，记 \(s=\frac{a+b+c}{2}\) ，考虑展开 \(\sin C\) \[ \begin{aligned} \sin C &= \sqrt{1 - \cos^2 C} \\[8pt] &= \sqrt{(1 + \cos C)(1 - \cos C)} \\[8pt] &= \sqrt{\left(1 + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)\left(1 - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)} \\[8pt] &= \sqrt{\left(\frac{2ab + (a^2 + b^2 - c^2)}{2ab}\right)\left(\frac{2ab - (a^2 + b^2 - c^2)}{2ab}\right)} \\[8pt] &= \sqrt{\left(\frac{(2ab + a^2 + b^2) - c^2}{2ab}\right)\left(\frac{c^2-(a^2+b^2-2ab)}{2ab}\right)} \\[8pt] &= \sqrt{\left(\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}\right)\left(\frac{c^2-(a-b)^2}{2ab}\right)} \\[8pt] &= \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab} \\[8pt] &= \frac{\sqrt{(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab} \\[8pt] &= \frac{2}{ab}\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)} \end{aligned} \] 那么 \[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}ab\sin C \\[8pt] &= \frac{ab}{2}\cdot \frac{2}{ab}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\[8pt] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} \]