如何直观地理解直线方程的一般式？
所有直线都可以用以下形式表示
这个叫做直线方程的一般式。
习惯上我们要求 $A \ge 0$ 且 $\gcd(A,B,C)=1$ ，这样每条直线的表达形式是唯一的。
在这种形式下，直线的斜率是 $-\frac{A}{B}$ ，$x$ –截距是 $-\frac{C}{A}$ ，$y$ –截距是 $-\frac{C}{B}$ 。
这个形式好像没有我们熟悉的 $y=kx+b$ 那么直观……吗？
这里来讲一种很直观的理解方式，只需要下面这个结论即可：
直线方程 $Ax+By+C=0$ 的一个法向量是 $\mathbf{n}=(A,B)$ 。
这样斜率（如果存在的话）是 $-\frac{A}{B}$ 就很直观了。
同样地，我们也可以用这种方法去看直线平行的条件。
直线平行条件
$A_1C_2-A_2C_1 \ne 0$ 不适用于 $A_1=A_2=0$ 的情况；
$B_1C_2-B_2C_1 \ne 0$ 不适用于 $B_1=B_2=0$ 的情况。
显然，平行的两条直线，他们的法向量是共线（平行）的，那么有
更直观（但少了一些特例情况）的形式是
这就是判定条件第一行的由来，它那种写法还考虑了分母不为零的问题
第二行可以直接从直线方程的角度看，如果
那这就是同一条直线了（重合），所以要求
考虑一下特殊情况就变成了我们用的判断条件了。
垂直就更简单了，法向量垂直，点积为 $0$ 呗
点到距离公式单独写了一篇 如何理解点到直线距离公式？