如何直观地理解直线方程的一般式？

所有直线都可以用以下形式表示 \[ Ax+By+C=0 \] 这个叫做直线方程的一般式。

习惯上我们要求 \(A \ge 0\) 且 \(\gcd(A,B,C)=1\) ，这样每条直线的表达形式是唯一的。

在这种形式下，直线的斜率是 \(-\frac{A}{B}\) ，\(x\) –截距是 \(-\frac{C}{A}\) ，\(y\) –截距是 \(-\frac{C}{B}\) 。

这个形式好像没有我们熟悉的 \(y=kx+b\) 那么直观……吗？

这里来讲一种很直观的理解方式，只需要下面这个结论即可：

直线方程 \(Ax+By+C=0\) 的一个法向量是 \(\mathbf{n}=(A,B)\) 。

这样斜率（如果存在的话）是 \(-\frac{A}{B}\) 就很直观了。

同样地，我们也可以用这种方法去看直线平行的条件。

直线平行条件

\[ \begin{cases} A_1B_2-A_2B_1 = 0, \\[6pt]A_1C_2-A_2C_1 \ne 0 \,\text{或}\,B_1C_2-B_2C_1 \ne 0 \end{cases} \] \(A_1C_2-A_2C_1 \ne 0\) 不适用于 \(A_1=A_2=0\) 的情况；

\(B_1C_2-B_2C_1 \ne 0\) 不适用于 \(B_1=B_2=0\) 的情况。

显然，平行的两条直线，他们的法向量是共线（平行）的，那么有 \[ A_1=kA_2,\quad B_1 = kB_2\quad(k\ne 0) \] 更直观（但少了一些特例情况）的形式是 \[ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2} \] 这就是判定条件第一行的由来，它那种写法还考虑了分母不为零的问题

第二行可以直接从直线方程的角度看，如果 \[ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \] 那这就是同一条直线了（重合），所以要求 \[ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne\frac{C_1}{C_2} \] 考虑一下特殊情况就变成了我们用的判断条件了。

垂直就更简单了，法向量垂直，点积为 \(0\) 呗 \[ A_1A_2 + B_1B_2=0 \]

点到距离公式单独写了一篇 如何理解点到直线距离公式？