如何理解点到直线距离公式？

直线外一点 \(P(x_0,y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\) 的距离为 \[ d=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

这个公式是不是看起来很特别？但又说不出为什么？

任意一点到直线的距离，本质是该点到直线上某一点的连线向量在法向量方向上的投影长度。

注：直线方程 \(Ax+By+C=0\) 的一个法向量是 \(\mathbf{n}=(A,B)\) 。可以参考这个

记该直线上一点为 \(Q(x,y)\) ，则 \(\overset{\longrightarrow}{QP}=(x_0-x,y_0-y)\) ，那么 \[ d=\frac{|\mathbf{n}\cdot\overset{\longrightarrow}{QP}|}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{\left|A\left(x_0-x\right)+B\left(y_0-y\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \] 由于 \(Q(x,y)\) 在直线上，满足 \(Ax+By+C=0\) ，即 \(C=-Ax-By\) ，代入可得 \[ d=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \] 这里分子的含义是 \(\overset{\longrightarrow}{QP}\) 在法向量 \(\mathbf{n}\) 上投影的长度和 \(\| \mathbf{n} \|\) 的乘积。

而分母的含义是，消除式子里乘以法向量模长 \(\|\mathbf{n}\|\) 导致的距离偏差。

理解了这个点到直线公式，两平行直线的距离公式就是在这个基础上做一点代数操作而已 \[ d=\dfrac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \] 我不知道是我上课没听还是压根没讲，反正这些公式之前是死记的。