如何理解点到直线距离公式?
直线外一点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离为
这个公式是不是看起来很特别?但又说不出为什么?
任意一点到直线的距离,本质是该点到直线上某一点的连线向量在法向量方向上的投影长度。
注:直线方程 $Ax+By+C=0$ 的一个法向量是 $\mathbf{n}=(A,B)$ 。可以参考这个
记该直线上一点为 $Q(x,y)$ ,则 $\overset{\longrightarrow}{QP}=(x_0-x,y_0-y)$ ,那么
由于 $Q(x,y)$ 在直线上,满足 $Ax+By+C=0$ ,即 $C=-Ax-By$ ,代入可得
这里分子的含义是 $\overset{\longrightarrow}{QP}$ 在法向量 $\mathbf{n}$ 上投影的长度和 $| \mathbf{n} |$ 的乘积。
而分母的含义是,消除式子里乘以法向量模长 $|\mathbf{n}|$ 导致的距离偏差。
理解了这个点到直线公式,两平行直线的距离公式就是在这个基础上做一点代数操作而已
我不知道是我上课没听还是压根没讲,反正这些公式之前是死记的。