三垂线定理

友情提醒，本定理在高考中不能直接用，需要证明一下。

三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

数学语言：已知穿过平面 \(\alpha\) 的直线 \(OB\) 在 \(\alpha\) 上的射影 \(AB\) 垂直于直线 \(l\) ，\(l \subset \alpha\) ，则 \(l \perp OB\) 。

证明 因为 \(OA\perp \alpha,~l\subset \alpha\) ，所以 \(OA \perp l\) 。

因为 \(l \perp AB,~AB \cap OA = A\) ，所以 \(l \perp\) 平面 \(OAB\) ，所以 \(l \perp OB\) 。\(\square\)

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

数学语言：已知穿过平面 \(\alpha\) 的直线 \(OB\) 垂直于直线 \(l\) ，\(l \subset \alpha\) ，\(AB\) 为 \(OB\) 在 \(\alpha\) 上的射影，则 \(l \perp AB\) 。

证明 因为 \(OA \perp \alpha,~l \subset \alpha\) ，所以 \(OA \perp l\) 。

因为 \(l\perp OB,~OB \cap OA = O\) ，所以 \(l \perp\) 平面 \(OAB\) ，所以 \(l \perp AB\) 。\(\square\)

证明的方法都是利用线面垂直的性质，很简单。