三垂线定理

友情提醒，本定理在高考中不能直接用，需要证明一下。

三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

数学语言：已知穿过平面 $\alpha$ 的直线 $OB$ 在 $\alpha$ 上的射影 $AB$ 垂直于直线 $l$ ，$l \subset \alpha$ ，则 $l \perp OB$ 。

证明 因为 $OA\perp \alpha,~l\subset \alpha$ ，所以 $OA \perp l$ 。

因为 $l \perp AB,~AB \cap OA = A$ ，所以 $l \perp$ 平面 $OAB$ ，所以 $l \perp OB$ 。$\square$

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

数学语言：已知穿过平面 $\alpha$ 的直线 $OB$ 垂直于直线 $l$ ，$l \subset \alpha$ ，$AB$ 为 $OB$ 在 $\alpha$ 上的射影，则 $l \perp AB$ 。

证明 因为 $OA \perp \alpha,~l \subset \alpha$ ，所以 $OA \perp l$ 。

因为 $l\perp OB,~OB \cap OA = O$ ，所以 $l \perp$ 平面 $OAB$ ，所以 $l \perp AB$ 。$\square$

证明的方法都是利用线面垂直的性质，很简单。