面积射影定理

这个也称作射影面积公式。

设平面 \(\alpha\) 外的 \(\triangle ABC\) 在平面 \(\alpha\) 内的正投影（射影）为 \(\triangle ABO\) ，

记 \(S_{\triangle ABC}=S,~S_{\triangle ABO}=S'\) ，并记 \(\triangle ABC\) 所在平面和平面 \(\alpha\) 所成二面角为 \(\theta\) ，有 \[ \cos \theta = \frac{S'}{S} \] 或者另一种形式 \[ S\cos \theta = S' \]

证明很简单，如下：

作 \(CD\perp AB\) ，连 \(OD\) ，根据三垂线定理的逆定理可知 \(OD \perp AB\) ，

故 \(\angle CDO\) 为二面角 \(C–AB–O\) 的平面角，即 \(\angle CDO = \theta\) ，那么 \[ \cos \theta=\frac{OD}{CD}=\frac{\frac{1}{2} AB \cdot OD}{\frac{1}{2} AB \cdot CD}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle OAB}}{\mathrm{S}_{\triangle ABC}}=\frac{S'}{S} \] \(\square\)

这里补充一下平面角的定义：

平面角由“射线—点—射线”构成，是从平面内一点出发的两条射线所组成的图形。

平面角的大小定义为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比。