【数学】空间向量

方便起见，本文采用高中数学的写法。用手写版的 \(\vec{a}\) 指代向量 \(\mathbf{a}\) ，用单竖线表示模长（而不是 \(\| \mathbf{a}\|\) ）

空间向量，即以 \(\mathbb{R}^3\) 为向量空间的元素。运算法则参考定义即可。

共线（平行） 对于向量 \(\vec{a},\vec{b}\,(\vec{b}\ne \mathbf{0})\) ， \[ \vec{a} \parallel \vec{b} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{a} = \lambda\,\vec{b}\quad (\lambda \in \mathbb{R}) \] 推论：\(A, B, P\) 三点共线 \[ \begin{aligned} &\overset{\longrightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\longrightarrow}{AB} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad &\overset{\longrightarrow}{OP} = \overset{\longrightarrow}{OA} + \lambda\,\overset{\longrightarrow}{AB} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad &\overset{\longrightarrow}{OP} = m\,\overset{\longrightarrow}{OA} + n\,\overset{\longrightarrow}{OB} & (m + n = 1) \end{aligned} \] 注：这里第三步和第二步的对应关系是 \(m=1-\lambda,~n=\lambda\) 。

共面 对于不共线的两个向量 \(\vec{a},\vec{b}\) ，任意向量 \(\vec{p}\) 与 \(\vec{a},\vec{b}\) 共面当且仅当 \[ \exists!(x,y) \in \mathbb{R}^2\quad \mathrm{s.t.}\quad \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} \] 推论：\(A,B,C,P\) 四点共面（其中 \(A,B,C\) 三点不共线） \[ \begin{aligned} &\overset{\longrightarrow}{AP} = u\,\overset{\longrightarrow}{AB} + v\, \overset{\longrightarrow}{AC} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad& \overset{\longrightarrow}{OP} = \overset{\longrightarrow}{OA} + u\,\overset{\longrightarrow}{AB} + v\, \overset{\longrightarrow}{AC} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad& \overset{\longrightarrow}{OP} = x\,\overset{\longrightarrow}{OA} + y\,\overset{\longrightarrow}{OB} + z\,\overset{\longrightarrow}{OC}&(x+y+z=1) \end{aligned} \]

垂直 对于非零向量 \(\vec{a},\vec{b}\) ， \[ \vec{a}\perp \vec{b} \quad\Leftrightarrow \quad \vec{a}\cdot \vec{b} = 0 \]

点积

点积的代数定义：\(n\) 维向量 \(\vec{a}=[a_1,a_2,\cdots,a_n]\) 和 \(\vec{b}=\left[b_1, b_2, \cdots, b_n\right]\) 的点积定义为 \[ \vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{i=1}^n a_i b_i=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n \] 点积的几何定义：在 \(\mathbb{R}^n(n\le 3)\) 中，点积可定义为 \[ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle \] 代数定义和几何定义的互相推导可参考维基百科 。

点积相关性质： \[ \begin{aligned} &①\quad|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2} = \sqrt{|\vec{a}|^2} \\[4pt]&②\quad |\vec{a} \cdot\vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \\[4pt]&③\quad \cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} \\[4pt]&④\quad |\vec{a}|\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{aligned} \] 点积满足交换律，对加法满足分配律。其他的性质不会解释，可以去看维基百科

标量投影

向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 的点积可视作向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影乘以向量 \(\vec{b}\) 的模长。

空间向量基本定理 若 \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) 不共面，则任意 \(\vec{p}\) 有 \[ \exists! (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\quad\mathrm{s.t.}\quad \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} \] 其中 \(\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}\) 叫作空间的一个基底，\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) 都叫作基向量。

单位正交基底要求所有基向量长度都为 \(1\) 且两两垂直，常用 \(\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}\) 表示（注：或 \(\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}\)）。

将空间向量在单位正交基底上分解，称为空间向量正交分解。

以空间一点 \(O\) 和一个单位正交基底 \(\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}\) 建立空间直角坐标系 \(Oxyz\) ，此时 \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) 叫作坐标向量

对于空间向量 \(\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1,b_2,b_3)\) 有 \[ \cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} \]

法向量 对于平面 \(\alpha\) ，法向量是垂直于 \(\alpha\) 的（任意）向量。

曲面在某点 \(P\) 处的法线为垂直于改点切平面的向量。

根据定义，可用待定系数法求出法向量，将平面关系转化为法向量关系。

具体方法：

设平面的一个法向量为 \(\vec{n}=(x,y,z)\) ，选平面上不共线的两个已知向量（如 \(\overset{\longrightarrow}{AB},\overset{\longrightarrow}{AC}\) ），根据定义有 \[ \begin{cases} \vec{n}\cdot\overset{\longrightarrow}{AB} = 0 \\[6pt]\vec{n}\cdot\overset{\longrightarrow}{AC} = 0 \end{cases} \] 解得 \(x\) 关于 \(y,z\) 的关系式，可令 \(x,y,z\) 中的某一个为 \(1\) （或 \(-1\) ），得到法向量 \(\vec{n}\) 的解。

为什么可以令其为 \(1\) 呢？因为 \((x,y,z)\) 和 \((1,\frac{y}{x},\frac{z}{x})\) 共线（设 \(x\ne 0\) ）

异面直线所成的角 定义为范围在 \((0,\frac{\pi}{2}]\) 的角，由两条直线各自的共线向量相交而成（想象一下就知道了）

设异面直线 \(a,b\) 的方向向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 的夹角为 \(\varphi\) ，显然有 \(\cos \varphi = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) ，那么直线 \(a,b\) 所成的角 \(\theta\) 有 \[ \cos \theta = |\cos \varphi| = \left|\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} \]

直线与平面所成的角 定义为范围在 \([0,\frac{\pi}{2}]\) 的角，由直线与直线在平面内的射影所成的角。

平面与平面所成的角（二面角） 定义为范围在 \([0,\pi]\) 的角，由两个平面的法向量所成的角。

向量法求空间中的距离

两点的距离 点 \(A=(x_1,y_1,z_1)\) 到点 \(B=(x_2,y_2,z_2)\) 的距离为 \[ |\overset{\longrightarrow}{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \] 点到直线的距离 设 \(B\) 为 \(\vec{a}\) 上一点，\(A\) 为 \(\vec{a}\) 外一点，\(\overset{\longrightarrow}{AB}\) 在 \(\vec{a}\) 方向上的投影向量的模长为 \(\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|}\) ，则点 \(A\) 到 \(\vec{a}\) 的距离为 \[ d=\sqrt{|\overset{\longrightarrow}{AB}|^2 - \left(\frac{\overset{\longrightarrow}{AB} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}\right)^2} \] 两平行直线的距离 取其中一条直线上任意一点 \(A\) ，转化为点到直线的距离。 \[ d=\sqrt{|\overset{\longrightarrow}{AB}|^2 - \left(\frac{\overset{\longrightarrow}{AB} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}\right)^2} \]

异面直线的距离 设 \(A \in a,B \in b\) ，直线 \(a,b\) 的距离等于向量 \(\overset{\longrightarrow}{AB}\) 在 \(\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}\) 上的投影的模长，即 \[ d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] 点到平面的距离 设直线 \(AB\) 交平面 \(\alpha\) 于 \(B\) ，\(\vec{n}\) 为 \(\alpha\) 的一个法向量，且 \(\vec{n}\) 与向量 \(\overset{\longrightarrow}{AB}\) 不共线，则点 \(A\) 到 \(\alpha\) 的距离为向量 \(\overset{\longrightarrow}{AB}\) 在 \(\vec{n}\) 上的投影向量的模长，即 \[ d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] 直线到平面的距离 取直线上任意一点，转化为点到平面的距离。 \[ d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] 两平行平面的距离 取平面上任意一点，转化为点到平面的距离。 \[ d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] 相交的两平面不存在距离的定义。