【数学】空间向量

方便起见，本文采用高中数学的写法。用手写版的 $\vec{a}$ 指代向量 $\mathbf{a}$ ，用单竖线表示模长（而不是 $| \mathbf{a}|$ ）

空间向量，即以 $\mathbb{R}^3$ 为向量空间的元素。运算法则参考定义即可。

共线（平行） 对于向量 $\vec{a},\vec{b}\,(\vec{b}\ne \mathbf{0})$ ，

$$\vec{a} \parallel \vec{b} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{a} = \lambda\,\vec{b}\quad (\lambda \in \mathbb{R})$$

推论：$A, B, P$ 三点共线

$$\begin{aligned} &\overset{\longrightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\longrightarrow}{AB} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad &\overset{\longrightarrow}{OP} = \overset{\longrightarrow}{OA} + \lambda\,\overset{\longrightarrow}{AB} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad &\overset{\longrightarrow}{OP} = m\,\overset{\longrightarrow}{OA} + n\,\overset{\longrightarrow}{OB} & (m + n = 1) \end{aligned}$$

注：这里第三步和第二步的对应关系是 $m=1-\lambda,~n=\lambda$ 。

共面 对于不共线的两个向量 $\vec{a},\vec{b}$ ，任意向量 $\vec{p}$ 与 $\vec{a},\vec{b}$ 共面当且仅当

$$\exists!(x,y) \in \mathbb{R}^2\quad \mathrm{s.t.}\quad \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$$

推论：$A,B,C,P$ 四点共面（其中 $A,B,C$ 三点不共线）

$$\begin{aligned} &\overset{\longrightarrow}{AP} = u\,\overset{\longrightarrow}{AB} + v\, \overset{\longrightarrow}{AC} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad& \overset{\longrightarrow}{OP} = \overset{\longrightarrow}{OA} + u\,\overset{\longrightarrow}{AB} + v\, \overset{\longrightarrow}{AC} \\[4pt]\Leftrightarrow\quad& \overset{\longrightarrow}{OP} = x\,\overset{\longrightarrow}{OA} + y\,\overset{\longrightarrow}{OB} + z\,\overset{\longrightarrow}{OC}&(x+y+z=1) \end{aligned}$$

垂直 对于非零向量 $\vec{a},\vec{b}$ ，

$$\vec{a}\perp \vec{b} \quad\Leftrightarrow \quad \vec{a}\cdot \vec{b} = 0$$

点积

点积的代数定义：$n$ 维向量 $\vec{a}=[a_1,a_2,\cdots,a_n]$ 和 $\vec{b}=\left[b_1, b_2, \cdots, b_n\right]$ 的点积定义为

$$\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{i=1}^n a_i b_i=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n$$

点积的几何定义：在 $\mathbb{R}^n(n\le 3)$ 中，点积可定义为

$$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$$

代数定义和几何定义的互相推导可参考维基百科 。

点积相关性质：

$$\begin{aligned} &①\quad|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2} = \sqrt{|\vec{a}|^2} \\[4pt]&②\quad |\vec{a} \cdot\vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \\[4pt]&③\quad \cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} \\[4pt]&④\quad |\vec{a}|\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{aligned}$$

点积满足交换律，对加法满足分配律。其他的性质不会解释，可以去看维基百科

标量投影

向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的点积可视作向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影乘以向量 $\vec{b}$ 的模长。

空间向量基本定理 若 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 不共面，则任意 $\vec{p}$ 有

$$\exists! (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\quad\mathrm{s.t.}\quad \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$$

其中 $\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$ 叫作空间的一个基底，$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 都叫作基向量。

单位正交基底要求所有基向量长度都为 $1$ 且两两垂直，常用 $\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$ 表示（注：或 $\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$）。

将空间向量在单位正交基底上分解，称为空间向量正交分解。

以空间一点 $O$ 和一个单位正交基底 $\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$ 建立空间直角坐标系 $Oxyz$ ，此时 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 叫作坐标向量

对于空间向量 $\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1,b_2,b_3)$ 有

$$\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$$

法向量 对于平面 $\alpha$ ，法向量是垂直于 $\alpha$ 的（任意）向量。

曲面在某点 $P$ 处的法线为垂直于改点切平面的向量。

根据定义，可用待定系数法求出法向量，将平面关系转化为法向量关系。

具体方法：

设平面的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$ ，选平面上不共线的两个已知向量（如 $\overset{\longrightarrow}{AB},\overset{\longrightarrow}{AC}$ ），根据定义有

$$\begin{cases} \vec{n}\cdot\overset{\longrightarrow}{AB} = 0 \\[6pt]\vec{n}\cdot\overset{\longrightarrow}{AC} = 0 \end{cases}$$

解得 $x$ 关于 $y,z$ 的关系式，可令 $x,y,z$ 中的某一个为 $1$ （或 $-1$ ），得到法向量 $\vec{n}$ 的解。

为什么可以令其为 $1$ 呢？因为 $(x,y,z)$ 和 $(1,\frac{y}{x},\frac{z}{x})$ 共线（设 $x\ne 0$ ）

异面直线所成的角 定义为范围在 $(0,\frac{\pi}{2}]$ 的角，由两条直线各自的共线向量相交而成（想象一下就知道了）

设异面直线 $a,b$ 的方向向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角为 $\varphi$ ，显然有 $\cos \varphi = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ，那么直线 $a,b$ 所成的角 $\theta$ 有

$$\cos \theta = |\cos \varphi| = \left|\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

直线与平面所成的角 定义为范围在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 的角，由直线与直线在平面内的射影所成的角。

平面与平面所成的角（二面角） 定义为范围在 $[0,\pi]$ 的角，由两个平面的法向量所成的角。

向量法求空间中的距离

两点的距离 点 $A=(x_1,y_1,z_1)$ 到点 $B=(x_2,y_2,z_2)$ 的距离为

$$|\overset{\longrightarrow}{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

点到直线的距离 设 $B$ 为 $\vec{a}$ 上一点，$A$ 为 $\vec{a}$ 外一点，$\overset{\longrightarrow}{AB}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模长为 $\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|}$ ，则点 $A$ 到 $\vec{a}$ 的距离为

$$d=\sqrt{|\overset{\longrightarrow}{AB}|^2 - \left(\frac{\overset{\longrightarrow}{AB} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}\right)^2}$$

两平行直线的距离 取其中一条直线上任意一点 $A$ ，转化为点到直线的距离。

$$d=\sqrt{|\overset{\longrightarrow}{AB}|^2 - \left(\frac{\overset{\longrightarrow}{AB} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}\right)^2}$$

异面直线的距离 设 $A \in a,B \in b$ ，直线 $a,b$ 的距离等于向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$ 在 $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}$ 上的投影的模长，即

$$d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

点到平面的距离 设直线 $AB$ 交平面 $\alpha$ 于 $B$ ，$\vec{n}$ 为 $\alpha$ 的一个法向量，且 $\vec{n}$ 与向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$ 不共线，则点 $A$ 到 $\alpha$ 的距离为向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量的模长，即

$$d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

直线到平面的距离 取直线上任意一点，转化为点到平面的距离。

$$d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

两平行平面的距离 取平面上任意一点，转化为点到平面的距离。

$$d=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

相交的两平面不存在距离的定义。