洛谷P2831 [NOIP2016 提高组] 愤怒的小鸟题解

题目链接：P2831 [NOIP2016 提高组] 愤怒的小鸟

题意：

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 $(0,0)$ 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 $y=ax^2+bx$ 的曲线，其中 $a,b$ 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 $a < 0$，$a,b$ 都是实数。

当小鸟落回地面（即 $x$ 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 $n$ 只绿色的小猪，其中第 $i$ 只小猪所在的坐标为 $\left(x_i,y_i \right)$。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 $\left( x_i, y_i \right)$，那么第 $i$ 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 $\left( x_i, y_i \right)$，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 $i$ 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于 $(1,3)$ 和 $(3,3)$，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 $y=-x^2+4x$ 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有 $T$ 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入格式：

第一行包含一个正整数 $T$，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 $T$ 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 $n,m$，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 $n$ 行中，第 $i$ 行包含两个正实数 $x_i,y_i$，表示第 $i$ 只小猪坐标为 $(x_i,y_i)$。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 $m=0$，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 $m=1$，则这个关卡将会满足：至多用 $\lceil n/3 + 1 \rceil$ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 $m=2$，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 $\lfloor n/3 \rfloor$ 只小猪。

保证 $1\leq n \leq 18$，$0\leq m \leq 2$，$0 < x_i,y_i < 10$，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号 $\lceil c \rceil$ 和 $\lfloor c \rfloor$ 分别表示对 $c$ 向上取整和向下取整，例如
$\lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3$
输出格式：

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

数据范围：

$1 \le n \le 18,\,m=0/1/2$ ；$n>15$ 的测试点 $T \le 5$ ，其余 $T \le 30$ 。

设 $f(S)$ 为集合 $S$ 内的所有小猪被消灭的最小花费，边界 $f(\varnothing) = 0$ 。

考虑转移，我们钦定编号最小的那个没出现的小猪这轮被消灭，那么

$f\left(S \cup g_{i,j}\right) \operatorname{\big\downarrow} f(S) + 1\quad(1 \le j \le n)$

其中运算符 $\downarrow$ 表示取 min， $g_{i,j}$ 表示经过 $i,j$ 这两只小猪的抛物线 $y=ax^2+bx$ 能消灭的小猪的集合。

当然还有一只小鸟只干掉一只小猪的情况，那么

$f(S \cup \{i\}) \operatorname{\big\downarrow}f(S) + 1$

于是我们只需要预处理一下 $g_{i,j}$ 就可以了，这个就是解方程。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n2^n)$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
// #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
const double eps = 1e-8;
int dcmp(double x) { if(fabs(x) <= eps) return 0; return x > eps ? 1 : -1; }
void up(int &x, int y) { x < y ? x = y : 0; }
void down(int &x, int y) { x > y ? x = y : 0; }
#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i <= i##END; i++)
#define Rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i >= i##END; i--)
#define N 25
#define M ((1 << 19) + 15)

double x[N], y[N];
int _, lg[M], _f[M], g[N][N];
int& f(int i) { return i < M ? _f[i] : _; }
void solve()
{
    int n; cin >> n >> _;
    rep(i, 1, n) cin >> x[i] >> y[i];
    rep(i, 1, n) rep(j, 1, n)
    {
        g[i][j] = 0; if(!dcmp(x[i] - x[j])) continue;
        const double a = (y[i] * x[j] - y[j] * x[i]) / (x[i] * x[i] * x[j] - x[i] * x[j] * x[j]);
        const double b = (x[j] * x[j] * y[i] - y[j] * x[i] * x[i]) / (x[i] * x[j] * x[j] - x[i] * x[i] * x[j]);
        if(~dcmp(a)) continue;
        rep(k, 1, n) if(!dcmp(a * x[k] * x[k] + b * x[k] - y[k])) g[i][j] |= (1 << (k - 1));
    }
    rep(i, 1, (1 << n) - 1 + (_f[0] = 0)) _f[i] = INF;
    rep(i, 0, (1 << n) - 1)
    {
        int j = lowbit(~i); down(f(i | j), f(i) + 1);
        rep(k, 1, n) down(f(i | g[lg[j]][k]), f(i) + 1);
    }
    cout << f((1 << n) - 1) << '\n';
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    lg[1] = 1; rep(i, 2, M - 1) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
    int qwq; cin >> qwq; while(qwq--) solve();
    return 0;
}