洛谷P2831 [NOIP2016 提高组] 愤怒的小鸟 题解
题目链接:P2831 [NOIP2016 提高组] 愤怒的小鸟
题意:
Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说,这款游戏是在一个平面上进行的。
有一架弹弓位于 \((0,0)\) 处,每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟,小鸟们的飞行轨迹均为形如 \(y=ax^2+bx\) 的曲线,其中 \(a,b\) 是 Kiana 指定的参数,且必须满足 \(a < 0\),\(a,b\) 都是实数。
当小鸟落回地面(即 \(x\) 轴)时,它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里,平面的第一象限中有 \(n\) 只绿色的小猪,其中第 \(i\) 只小猪所在的坐标为 \(\left(x_i,y_i \right)\)。
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 \(\left( x_i, y_i \right)\),那么第 \(i\) 只小猪就会被消灭掉,同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行;
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 \(\left( x_i, y_i \right)\),那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 \(i\) 只小猪产生任何影响。
例如,若两只小猪分别位于 \((1,3)\) 和 \((3,3)\),Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 \(y=-x^2+4x\) 的小鸟,这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的,就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。
这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难,所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令,使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。
假设这款游戏一共有 \(T\) 个关卡,现在 Kiana 想知道,对于每一个关卡,至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算,所以希望由你告诉她。
输入格式:
第一行包含一个正整数 \(T\),表示游戏的关卡总数。
下面依次输入这 \(T\) 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 \(n,m\),分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 \(n\) 行中,第 \(i\) 行包含两个正实数 \(x_i,y_i\),表示第 \(i\) 只小猪坐标为 \((x_i,y_i)\)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。
如果 \(m=0\),表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。
如果 \(m=1\),则这个关卡将会满足:至多用 \(\lceil n/3 + 1 \rceil\) 只小鸟即可消灭所有小猪。
如果 \(m=2\),则这个关卡将会满足:一定存在一种最优解,其中有一只小鸟消灭了至少 \(\lfloor n/3 \rfloor\) 只小猪。
保证 \(1\leq n \leq 18\),\(0\leq m \leq 2\),\(0 < x_i,y_i < 10\),输入中的实数均保留到小数点后两位。
上文中,符号 \(\lceil c \rceil\) 和 \(\lfloor c \rfloor\) 分别表示对 \(c\) 向上取整和向下取整,例如 \[ \lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3 \] 输出格式:
对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数,表示相应的关卡中,消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。
数据范围:
\(1 \le n \le 18,\,m=0/1/2\) ;\(n>15\) 的测试点 \(T \le 5\) ,其余 \(T \le 30\) 。
设 \(f(S)\) 为集合 \(S\) 内的所有小猪被消灭的最小花费,边界 \(f(\varnothing) = 0\) 。
考虑转移,我们钦定编号最小的那个没出现的小猪这轮被消灭,那么 \[ f\left(S \cup g_{i,j}\right) \operatorname{\big\downarrow} f(S) + 1\quad(1 \le j \le n) \] 其中运算符 \(\downarrow\) 表示取 min, \(g_{i,j}\) 表示经过 \(i,j\) 这两只小猪的抛物线 \(y=ax^2+bx\) 能消灭的小猪的集合。
当然还有一只小鸟只干掉一只小猪的情况,那么 \[ f(S \cup \{i\}) \operatorname{\big\downarrow}f(S) + 1 \] 于是我们只需要预处理一下 \(g_{i,j}\) 就可以了,这个就是解方程。
时间复杂度 \(\mathcal{O}(n2^n)\)
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
// #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
const double eps = 1e-8;
int dcmp(double x) { if(fabs(x) <= eps) return 0; return x > eps ? 1 : -1; }
void up(int &x, int y) { x < y ? x = y : 0; }
void down(int &x, int y) { x > y ? x = y : 0; }
#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i <= i##END; i++)
#define Rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i >= i##END; i--)
#define N 25
#define M ((1 << 19) + 15)
double x[N], y[N];
int _, lg[M], _f[M], g[N][N];
int& f(int i) { return i < M ? _f[i] : _; }
void solve()
{
int n; cin >> n >> _;
rep(i, 1, n) cin >> x[i] >> y[i];
rep(i, 1, n) rep(j, 1, n)
{
g[i][j] = 0; if(!dcmp(x[i] - x[j])) continue;
const double a = (y[i] * x[j] - y[j] * x[i]) / (x[i] * x[i] * x[j] - x[i] * x[j] * x[j]);
const double b = (x[j] * x[j] * y[i] - y[j] * x[i] * x[i]) / (x[i] * x[j] * x[j] - x[i] * x[i] * x[j]);
if(~dcmp(a)) continue;
rep(k, 1, n) if(!dcmp(a * x[k] * x[k] + b * x[k] - y[k])) g[i][j] |= (1 << (k - 1));
}
rep(i, 1, (1 << n) - 1 + (_f[0] = 0)) _f[i] = INF;
rep(i, 0, (1 << n) - 1)
{
int j = lowbit(~i); down(f(i | j), f(i) + 1);
rep(k, 1, n) down(f(i | g[lg[j]][k]), f(i) + 1);
}
cout << f((1 << n) - 1) << '\n';
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
// freopen("check.in","r",stdin);
// freopen("check.out","w",stdout);
lg[1] = 1; rep(i, 2, M - 1) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
int qwq; cin >> qwq; while(qwq--) solve();
return 0;
}
参考文献: