【数学】常见几何体的表面积和体积公式

提示：本文全是小学数学。

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一、表面积 & 侧面积 公式

• 直棱柱的侧面积

  设直棱柱的底面周长为 \(C\) ，高为 \(h\) ，则 \[ S_\text{侧} = Ch \]

• 长方体的表面积

  设长宽高分别为 \(a,b,c\) ，则 \[ S_\text{表}=2ab+2bc+2ac \]

• 正方体的表面积

  设棱长为 \(a\) ，则 \[ S_\text{表}=6a^2 \]

• 正棱锥的侧面积

  设斜高为 \(h^\prime\) （侧面图形上的高），底面周长为 \(C\) ，则 \[ S_\text{侧} = \dfrac{1}{2} Ch^\prime \]

• 正棱台的侧面积

  设上底面的周长为 \(C_1\) ，下底面的周长为 \(C_2\) ，斜高为 \(h^\prime\) ，则 \[ S_\text{侧}=\dfrac{1}{2}(C_1+C_2)h^\prime \]

• 圆柱的底面积

  设圆柱的底面半径为 \(r\) ，则 \[ S_\text{底}=\pi r^2 \]

• 圆柱的侧面积

  设圆柱的底面半径为 \(r\) ，母线长为 \(l\) ，则 \[ S_\text{侧}=2\pi rl \]

• 圆柱的表面积

  设圆柱的底面半径为 \(r\) ，母线长为 \(l\) ，则 \[ \begin{aligned} S_\text{表} &= 2\pi r^2 + 2\pi r l \\&=2\pi r ( r + l ) \\ \end{aligned} \]

• 圆锥的侧面积

  设圆锥的底面半径为 \(r\) ，母线长为 \(l\) ，则 \[ S_\text{侧}= \pi r l \]

• 圆锥的表面积

  设圆锥的底面半径为 \(r\) ，母线长为 \(l\) ，则 \[ \begin{aligned} S_\text{表} &= \pi r^2 +\pi rl \\&=\pi r ( r + l ) \end{aligned} \]

• 圆台的侧面积

  设两底面的半径分别为 \(r_1,r_2\) ，母线长为 \(l\) ，则 \[ S_\text{侧} = \pi (r_1+r_2) l \]

• 圆台的表面积

  设两底面的半径分别为 \(r_1,r_2\) ，母线长为 \(l\) ，则 \[ S_\text{表}=\pi(r_1^2 + r_2^2 + r_1l + r_2l) \]

• 球的表面积

  设半径为 \(R\) ，则 \[ S_\text{表} = 4 \pi R^2 \]

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二、体积公式

• 柱体的体积

  设底面面积为 \(S\) ，高为 \(h\) ，则 \[ V_\text{柱体} = Sh \]

• 圆柱的体积

  设底面半径为 \(r\) ，高为 \(h\) ，则 \[ V_\text{圆柱} = \pi r^2 h \]

• 锥体的体积

  设底面面积为 \(S\) ，高为 \(h\) ，则 \[ V_\text{锥体} = \dfrac{1}{3} S h \]

• 圆锥的体积

  设底面半径为 \(r\) ，高为 \(h\) ，则 \[ V_\text{圆锥} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \]

• 台体的体积

  设上底、下底面积分别为 \(S_1,S_2\) ，\(h\) 为高，则 \[ V_\text{台体} = \dfrac{1}{3}h\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}\right) \]

• 圆台的体积

  设上底、下底面半径分别为 \(r_1,r_2\) ，\(h\) 为高，则 \[ V_\text{圆台} = \dfrac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2) \]

• 球的体积

  设半径为 \(R\) ，则 \[ V_\text{球} = \dfrac{4}{3} \pi R^3 \]