【数学】常见几何体的表面积和体积公式

提示：本文全是小学数学。

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一、表面积 & 侧面积 公式

• 直棱柱的侧面积

  设直棱柱的底面周长为 $C$ ，高为 $h$ ，则

  $$S_\text{侧} = Ch$$

• 长方体的表面积

  设长宽高分别为 $a,b,c$ ，则

  $$S_\text{表}=2ab+2bc+2ac$$

• 正方体的表面积

  设棱长为 $a$ ，则

  $$S_\text{表}=6a^2$$

• 正棱锥的侧面积

  设斜高为 $h^\prime$ （侧面图形上的高），底面周长为 $C$ ，则

  $$S_\text{侧} = \dfrac{1}{2} Ch^\prime$$

• 正棱台的侧面积

  设上底面的周长为 $C_1$ ，下底面的周长为 $C_2$ ，斜高为 $h^\prime$ ，则

  $$S_\text{侧}=\dfrac{1}{2}(C_1+C_2)h^\prime$$

• 圆柱的底面积

  设圆柱的底面半径为 $r$ ，则

  $$S_\text{底}=\pi r^2$$

• 圆柱的侧面积

  设圆柱的底面半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，则

  $$S_\text{侧}=2\pi rl$$

• 圆柱的表面积

  设圆柱的底面半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，则

  $$\begin{aligned} S_\text{表} &= 2\pi r^2 + 2\pi r l \\&=2\pi r ( r + l ) \\ \end{aligned}$$

• 圆锥的侧面积

  设圆锥的底面半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，则

  $$S_\text{侧}= \pi r l$$

• 圆锥的表面积

  设圆锥的底面半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，则

  $$\begin{aligned} S_\text{表} &= \pi r^2 +\pi rl \\&=\pi r ( r + l ) \end{aligned}$$

• 圆台的侧面积

  设两底面的半径分别为 $r_1,r_2$ ，母线长为 $l$ ，则

  $$S_\text{侧} = \pi (r_1+r_2) l$$

• 圆台的表面积

  设两底面的半径分别为 $r_1,r_2$ ，母线长为 $l$ ，则

  $$S_\text{表}=\pi(r_1^2 + r_2^2 + r_1l + r_2l)$$

• 球的表面积

  设半径为 $R$ ，则

  $$S_\text{表} = 4 \pi R^2$$

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二、体积公式

• 柱体的体积

  设底面面积为 $S$ ，高为 $h$ ，则

  $$V_\text{柱体} = Sh$$

• 圆柱的体积

  设底面半径为 $r$ ，高为 $h$ ，则

  $$V_\text{圆柱} = \pi r^2 h$$

• 锥体的体积

  设底面面积为 $S$ ，高为 $h$ ，则

  $$V_\text{锥体} = \dfrac{1}{3} S h$$

• 圆锥的体积

  设底面半径为 $r$ ，高为 $h$ ，则

  $$V_\text{圆锥} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$$

• 台体的体积

  设上底、下底面积分别为 $S_1,S_2$ ，$h$ 为高，则

  $$V_\text{台体} = \dfrac{1}{3}h\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}\right)$$

• 圆台的体积

  设上底、下底面半径分别为 $r_1,r_2$ ，$h$ 为高，则

  $$V_\text{圆台} = \dfrac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)$$

• 球的体积

  设半径为 $R$ ，则

  $$V_\text{球} = \dfrac{4}{3} \pi R^3$$