洛谷P1450 [HAOI2008] 硬币购物 题解
题意:
共有 \(4\) 种硬币。面值分别为 \(c_1,c_2,c_3,c_4\)。
某人去商店买东西,去了 \(n\) 次,对于每次购买,他带了 \(d_i\) 枚 \(i\) 种硬币,想购买 \(s\) 的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。
输入格式:
输入的第一行是五个整数,分别代表 \(c_1,c_2,c_3,c_4, n\)。
接下来 \(n\) 行,每行有五个整数,描述一次购买,分别代表 \(d_1, d_2, d_3, d_4,s\)。
输出格式:
对于每次购买,输出一行一个整数代表答案。
数据范围:
对于 \(100\%\) 的数据,保证 \(1 \leq c_i, d_i, s \leq 10^5\),\(1 \leq n \leq 1000\)。
首先可以想到朴素的背包dp,不过复杂度是 \(\mathcal{O}(4ns)\) 的。
考虑如果 \(d_i\) 足够大时,实际上我们不需要再去做 dp 了,只需要做一次 dp 存下来即可
不过这没有改变 \(d_i\) 可能不够的现实,因此考虑设 \(f_s\) 表示钦定花费为 \(s\) 的情况的方案数。
设性质 \(P_i~(1 \le i \le 4)\) 表示第 \(i\) 种硬币不够用,根据容斥我们只需要求出硬币不够用的情况即可。
显然第 \(i\) 种硬币不够用,意味着它需要至少 \(d_i+1\) 个,则 \(s \ge c_i(d_i+1)\) 。
于是剩余的 \(s - c_i(d_i+1)\) 可以随意分配,这相当于原问题的一个已解决的子问题。
那么我们只需要 dp 一遍就能得出答案了。
时间复杂度 \(\mathcal{O}(4s + 2^4n)\)
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
// #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
typedef long long ll;
void up(int &x, int y) { x < y ? x = y : 0; }
void down(int &x, int y) { x > y ? x = y : 0; }
#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i <= i##END; i++)
#define Rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i >= i##END; i--)
#define N ((int)(1e5 + 15))
int n, q, c[4], d[4]; ll res, f[N];
ll F(int x) { return x >= 0 ? f[x] : 0; }
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
// freopen("check.in","r",stdin);
// freopen("check.out","w",stdout);
cin >> c[0] >> c[1] >> c[2] >> c[3] >> q; f[0] = 1;
rep(i, 0, 3) rep(j, c[i], N - 5) f[j] += f[j - c[i]];
while(q--)
{
cin >> d[0] >> d[1] >> d[2] >> d[3] >> n;
++d[0]; ++d[1]; ++d[2]; ++d[3]; res = 0;
rep(i, 0, 15)
{
static int s; s = n;
rep(j, 0, 3) if((i >> j) & 1) s -= c[j] * d[j];
res += __builtin_parity(i) ? -F(s) : F(s);
}
cout << res << '\n';
}
return 0;
}
参考文献:
[1] https://yhx-12243.github.io/OI-transit/records/lydsy1042.html