CF1493E Enormous XOR 题解

题目链接：Enormous XOR

题意：

定义 \(g(x,y) = x \oplus (x+1) \oplus \dots \oplus (y-1) \oplus y\) 。

设 \(f(l,r)\) 为所有满足 \(l\leq x\leq y\leq r\) 的 \(g(x,y)\) 的最大值。

先给出 \(l,r\) 的二进制形式，求 \(f(l,r)\) 。

数据范围：

\(1 \le n \le 10^6\) 。其中 \(n\) 是 \(l,r\) 二进制下的位数。

找规律猜结论题。

注意到如果 \(l,r\) 的位数不同，答案必定为 \(2^n-1\) ，令 \(x=2^{n-1}-1,\,y=2^{n-1}\) 即可

接下来考虑 \(l,r\) 位数相同的情况。这里有一个结论，当 \(x\) 是偶数时，\(x \oplus (x + 1)=1\) 。

于是 \(\bigoplus_{i=0}^{2k+1}(x + i)\) 的值为 \(0\) ，因为两两相互抵消了。考虑利用这个性质。

可以证明，原题的答案的取值只可能是 \(x,\,x - 1,\,y,\,y + 1\) （这里的 \(x,y\) 是题目里的）。

• 当 \(x\) 为奇数且 \(y-x \equiv 0 \pmod{4}\) 时，答案为 \(x\) 。
• 当 \(x\) 为奇数且 \(y-x \equiv 2 \pmod{4}\) 时，答案为 \(x \oplus 1\) 。也就是 \(x-1\) 。
• 当 \(x\) 为偶数且 \(y-x \equiv 0 \pmod{4}\) 时，答案为 \(y\) 。
• 当 \(x\) 为偶数且 \(y-x \equiv 2 \pmod{4}\) 时，答案为 \(y \oplus 1\) 。也就是 \(y + 1\) 。

显然当 \(y=r\) 时答案最大，并且我们希望取到 \(y+1\) 。

• 当 \(r\) 是奇数时，无法得到更好的答案，因此取 \(x=y=r\) 。
• 当 \(r\) 是偶数时，只需要 \(l+2 \le r\) 即可令 \(x=l+2,\,y=r\) 。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
void up(int &x, int y) { x < y ? x = y : 0; }
void down(int &x, int y) { x > y ? x = y : 0; }
#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i <= i##END; i++)
#define Rep(i, a, b) for(int i = (a), i##END = (b); i >= i##END; i--)
#define N ((int)(1e6 + 15))

char l[N], r[N];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    int n; cin >> n >> (l + 1) >> (r + 1);
    if(l[1] != r[1]) {  rep(i, 1, n) { cout << '1'; } return 0; }
    if(r[n] & 1) return cout << (r + 1) << '\n', 0;
    ++l[n - 1];
    Rep(i, n - 1, 0) if(l[i] > '1') l[i] -= 2, ++l[i - 1];
    bool ok = false;
    rep(i, 0, n) if(l[i] != r[i]) { ok = l[i] < r[i]; break; }
    r[n] += ok; cout << (r + 1) << '\n';
    return 0;
}

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参考文献：

[1] https://www.luogu.com.cn/article/86lu0v6k