note[20]

题：

$$\min \left\{\left.k^4+3 k^2+3+\frac{1}{k^2} \right\rvert\, 0<k \leq 1\right\}$$

解：

记 $f(k) = k^4+3 k^2+3+\frac{1}{k^2}$ ，其中 $k \in (0,1]$ ，那么

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}k}f = 4k^3 + 6k - \frac{2}{k^3}$$

那么最小值就在 $f^{\prime}(k)=0$ 的地方，解一下方程

$$\begin{aligned} 4k^3 + 6k - \frac{2}{k^3} &= 0 \\[6pt] 2 k^6+3 k^4-1&=0 \end{aligned}$$

记 $x = k^2$ ，那么式子变为

$$2 x^3+3 x^2-1=0$$

考虑用有理根定理来找到可能的有理根。

有理根定理：如果一个多项式存在有理根 $\frac{p}{q}$，那么 $p$ 是常数项的因数，$q$ 是最高次项系数的因数。

于是，对于 $2 x^3+3 x^2-1=0$ ，而可能的有理根为 $\pm 1,\pm \frac{1}{2}$ ，代入可知 $x=\frac{1}{2}$ 是方程的一个根

那么将多项式除以 $(x - \frac{1}{2})$ ，这里可以用 代数的多项式除法 （其实原理就是秦九韶算法）

$$\begin{array}{r|rrr} \frac{1}{2} & 2 & 3 & 0 & -1 \\ \hline & 2 & 4 & 2 & 0 \\ \end{array}$$

这里类似于整数的除法，余数乘上 $x$ 放到下一位。得到的多项式如下

$$\textstyle 2x^3 + 3x^2 - 1 = (x - \frac{1}{2})(2x^2 + 4x + 2)$$

整理一下就可以得到

$$\textstyle 2\left(k^2 - \frac{1}{2}\right)(k^2 + 1)^2 = 0$$

那么 $k^2 = \frac{1}{2}$ ，即 $k = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ 。因为 $k > 0$ ，所以 $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

于是答案就是 $\textstyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{27}{4}$ ，即

$$\min \left\{\left.k^4+3 k^2+3+\frac{1}{k^2} \right\rvert\, 0<k \leq 1\right\} =\frac{27}{4} \,\textbf { at }\, k=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

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题外话：

再写要寄了，睡觉睡觉。