note[20]

题： \[ \min \left\{\left.k^4+3 k^2+3+\frac{1}{k^2} \right\rvert\, 0<k \leq 1\right\} \] 解：

记 \(f(k) = k^4+3 k^2+3+\frac{1}{k^2}\) ，其中 \(k \in (0,1]\) ，那么 \[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}k}f = 4k^3 + 6k - \frac{2}{k^3} \] 那么最小值就在 \(f^{\prime}(k)=0\) 的地方，解一下方程 \[ \begin{aligned} 4k^3 + 6k - \frac{2}{k^3} &= 0 \\[6pt] 2 k^6+3 k^4-1&=0 \end{aligned} \] 记 \(x = k^2\) ，那么式子变为 \[ 2 x^3+3 x^2-1=0 \] 考虑用有理根定理来找到可能的有理根。

有理根定理：如果一个多项式存在有理根 \(\frac{p}{q}\)，那么 \(p\) 是常数项的因数，\(q\) 是最高次项系数的因数。

于是，对于 \(2 x^3+3 x^2-1=0\) ，而可能的有理根为 \(\pm 1,\pm \frac{1}{2}\) ，代入可知 \(x=\frac{1}{2}\) 是方程的一个根

那么将多项式除以 \((x - \frac{1}{2})\) ，这里可以用 代数的多项式除法 （其实原理就是秦九韶算法） \[ \begin{array}{r|rrr} \frac{1}{2} & 2 & 3 & 0 & -1 \\ \hline & 2 & 4 & 2 & 0 \\ \end{array} \] 这里类似于整数的除法，余数乘上 \(x\) 放到下一位。得到的多项式如下 \[ \textstyle 2x^3 + 3x^2 - 1 = (x - \frac{1}{2})(2x^2 + 4x + 2) \] 整理一下就可以得到 \[ \textstyle 2\left(k^2 - \frac{1}{2}\right)(k^2 + 1)^2 = 0 \] 那么 \(k^2 = \frac{1}{2}\) ，即 \(k = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) 。因为 \(k > 0\) ，所以 \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 。

于是答案就是 \(\textstyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{27}{4}\) ，即 \[ \min \left\{\left.k^4+3 k^2+3+\frac{1}{k^2} \right\rvert\, 0<k \leq 1\right\} =\frac{27}{4} \,\textbf { at }\, k=\frac{1}{\sqrt{2}} \]

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题外话：

再写要寄了，睡觉睡觉。