洛谷P3239 [HNOI2015] 亚瑟王题解

题目链接：P3239 [HNOI2015] 亚瑟王

题意：

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。

作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。玩家有一套卡牌，共 \(n\) 张。游戏时，玩家将 \(n\) 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 \(1 - n\)。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 \(i\) 张卡牌的技能发动概率为 \(p_i\)，如果成功发动，则会对敌方造成 \(d_i\) 点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小 K 非洲血统的考虑，\(p_i\) 不会为 \(0\)，也不会为 \(1\)，即 \(0 < p_i < 1\)。一局游戏一共有 \(r\) 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）；否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 \(i\) 张

将其以 \(p_i\) 的概率发动技能。

如果技能发动，则对敌方造成 \(d_i\) 点伤害，并结束这一轮。

如果这张卡牌已经是最后一张（即 \(i\) 等于 \(n\)），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

输入格式：

输入文件的第一行包含一个整数 \(T\)，代表测试数据组数。

接下来一共 \(T\) 组数据。

每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 \(n\) 和 \(r\)，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第\(i\) 行的两个数为 \(p_i\) 和 \(d_i\)，分别代表第 \(i\) 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证 \(p_i\) 最多包含 \(4\) 位小数，且为一个合法的概率。

输出格式：

对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过 \(10^{-8}\) 时——即 \(\frac{|a-b|}{a} \leq 10^{-8}\) 时(其中 \(a\) 是标准答案， \(b\) 是输出)，你的输出才会被判为正确。建议输出 \(10\) 位小数。

数据范围：

\(1 \leq T \leq 444， 1 \leq n \leq 220， 0 \leq r \leq 132， 0 < p_i < 1， 0 \leq d_i \leq 1000\)。

除非备注中有特殊说明，数据中 \(p_i\) 与 \(d_i\) 均为随机生成。（~~备注在哪？~~）

注意到整局游戏最多打出 \(r\) 次攻击。

设 \(f(i,j)\) 为前 \(i\) 张牌当前还剩下 \(j\) 轮攻击时的期望，则 \[ f(i,j) = (1-p_i)^j \times f(i + 1, j) + \left(1 - (1-p_i)^j\right)\times (f(i + 1, j - 1) + d_i) \] 转移只需考察第 \(i\) 张牌是否发动即可。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(Tnr)\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
// #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
typedef long double lb;
void up(int &x, int y) { x < y ? x = y : 0; }
void down(int &x, int y) { x > y ? x = y : 0; }
#define N ((int)(555))

lb p[N], d[N], dp[N][N];
lb qpow(lb a, int b)
{
    lb r = 1;
    for(; b; b >>= 1, a = a * a)
        if(b & 1) r = r * a;
    return r;
}
void solve()
{
    int n, r; cin >> n >> r;
    for(int i = 1; i <= n + 5; i++)
        for(int j = 0; j <= r + 5; j++) dp[i][j] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i] >> d[i];
    for(int i = n; i > 0; i--)
        for(int j = 1; j <= r; j++)
        {
            const lb P = qpow(1 - p[i], j);
            dp[i][j] = dp[i + 1][j] * P + (dp[i + 1][j - 1] + d[i]) * (1 - P);
        }
    cout << dp[1][r] << '\n';
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cout << fixed << setprecision(14);
    int qwq; cin >> qwq; while(qwq--) solve();
    return 0;
}