发布日期: 2024-06-01

更新日期: 2024-06-01

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麦卡托投影法

麦卡托投影法（Mercator projection，也叫墨卡托投影法）是一种等角的圆柱形地图投影法。

本投影法得名于法兰德斯(佛兰德)出身的地理学家杰拉杜斯·麦卡托，他于1569年发表长202公分、宽124公分以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上，将地球在平面展开，经纬线于任何位置皆垂直相交，使世界地图可以绘制在一个长方形，地图的任一点在各种方向的长度均相等。

由于可显示任两点间的正确方位，指出真实的经纬度，航海用途的海图、航路图大都以此方式绘制。

在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变（即等角）；但麦卡托投影会使面积产生变形，赤道地区变化最小，南北两极的变形最大，但因为在南北回归线之间影响很少，而这是多数航线所在区域，所以被广泛用来编制地图。

数学原理

墨卡托投影可以被设想为将一个圆柱紧紧地包裹在一个球体上，这两个表面在它们公共轴的中点沿一个圆接触（相切），然后将球体的表面向外等角展开到圆柱上。这意味着在每个点上，投影均匀地缩放球面小部分的图像，而不对其进行其他变形，从而保留相交曲线之间的角度。之后，将这个圆柱展开成一个平面以制作地图。

在这种解释中，圆柱接触球体的圆周上保持表面比例不变，但对接触圆以外的点来说，比例非线性地增加。然而，作为最后一步，通过均匀地缩小得到的平面地图，可以选择任何一对与接触圆平行且等距的圆，使它们的比例得到保留，称为标准平行圈；然后，选定的圆之间的区域在球面上的比例将比在球面上的小，达到接触圆时的最小值。这有时被设想为投影到一个与球体相交的圆柱上，尽管这个图像在标准平行圈在地图上并不是以它们在球体内部最短距离相同的距离间隔开时具有误导性。

切线和割线形式的标准、斜向和横向墨卡托投影的比较，标准平行圈用红色表示。

圆柱投影图是通过公式将纬度 $\varphi$ 和经度 $\lambda$ 的地理坐标与地图上的笛卡尔坐标链接起来，其原点位于赤道，$x$ 轴沿赤道延伸。通过这种构建方式，同一经线上所有点在圆柱的同一母线上，具有相同的 $x$ 值，但沿母线从赤道测量的 $y$ 距离是纬度 $\varphi$ 的任意函数 $y(\varphi)$ 。通常情况下，这个函数并不描述从地球中心到圆柱的几何投影（如光线投射到屏幕上），这只是概念上投影圆柱地图的无限多种方式中的一种。

由于圆柱在赤道处与地球相切，地球与圆柱之间的比例尺在赤道处为 $1$，但在其他地方不是。

特别地，由于纬圈或纬度圈的半径是 $R \cos \varphi$ ，对应的地图上的纬圈必须被拉伸一个 $\frac{1}{\cos \varphi} = \sec \varphi$ 的因子。

纬线上的这个比例尺因子通常用 $k$ 表示，对应的经线上的比例尺因子用 $h$ 表示。

推导1

由于麦卡托投影是等角投影，其含义之一是“比例因子的各向同性”

这意味着点的比例因子与方向无关，因此投影可以保留较小的形状。

那么垂直比例因子 $h$ 等于水平比例因子 $k$ ，由于 $k = \sec \varphi$，所以 $h=\sec \varphi$。

考虑一个半径为 $R$ 的地球上的点，其经度为 $\lambda$ ，纬度为 $\varphi$ 。

如果 $\varphi$ 增加一个无穷小量 $\mathrm{d}\varphi$ ，该点将沿半径为 $R$ 的子午线移动 $R\,\mathrm{d}\varphi$

因此 $y$ 相应变化 $\mathrm{d}y=hR\,\mathrm{d} \varphi = R \sec \varphi \,\mathrm{d} \varphi$ ，则

$y^{\prime} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi} = R \sec \varphi$

类似地，将 $\lambda$ 增加 $\operatorname{d} \lambda$ 会使该点沿地球的一个平行圈移动 $R \cos \varphi \operatorname{d}\lambda$ ，即

$\mathrm{d} x = kR\cos \varphi \,\mathrm{d} \lambda = R\,\mathrm{d}\lambda$

则

$x'=R$

对以下方程进行积分

$x'(\lambda) = R,\quad y'(\varphi) = R \sec \varphi$

并且设 $x(λ_0) = 0$ 和 $y(0) = 0$，得到 $x(\lambda)$ 和 $y(\varphi)$。角度 $\lambda$ 和 $\varphi$ 以弧度表示。

其中 $λ_0$ 是一个任意中央子午线的经度，通常（但不总是）为本初子午线的经度（即零）。

根据正割函数的积分

$\begin{aligned} \int \sec \theta \,\mathrm{d} \theta & =\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}+C \\[6pt] & =\ln |\sec \theta+\tan \theta|+C \\[6pt] & =\ln \left|\tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C \end{aligned}$

以及经纬度的定义可知

$x=R\left(\lambda-\lambda_0\right), \quad y=R \ln \left[\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}\right)\right]$

在 $R = 1$ 的情况下，函数 $y(\varphi)$ 随 $\varphi$ 变化的图像表明：它在极点趋于无穷大。

印刷地图上通常不显示线性的 $y$ 轴值；相反，一些地图在右侧显示纬度值的非线性刻度。

通常情况下，地图上只显示选定的经线和纬线的网格。

相应的逆变换为

$\lambda=\lambda_0+\frac{x}{R}, \quad \varphi=2 \tan ^{-1}\left[\exp \left(\frac{y}{R}\right)\right]-\frac{\pi}{2}$

第二个方程右边的表达式定义了古德曼函数，即 $\varphi = \mathrm{gd}(\frac{y}{R})$ ，因此也可以写作 $y=R\cdot \operatorname{gd}{\varphi}$ 。

推导2

来讲一种更为简洁的方法，偏微分方程。

假设地球为正球体，我们需要将 $(\lambda,\varphi)$ 转化为笛卡尔坐标 $(x,y)$

然后求以赤道为基准的切柱面投影（即 $x = \lambda$ ），并保持形状不变，则

$\begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial \lambda} & =\cos (\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\[6pt]\frac{\partial y}{\partial \lambda} & =-\cos (\varphi) \frac{\partial x}{\partial \varphi} \end{aligned}$

由 $x=\lambda$ 可知

$\frac{\partial x}{\partial \lambda}=1,\quad \frac{\partial x}{\partial \varphi}=0$

给出

$\begin{aligned} & 1=\cos (\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ & 0=\frac{\partial y}{\partial \lambda} \end{aligned}$

因此 $y$ 是 $\varphi$ 的唯一函数，且可以得到 $y’ = \sec \varphi$ ，由正割函数的积分

$y=\ln (|\sec (\varphi)+\tan (\varphi)|)+C$

在地图中 $\varphi=0$ 得到 $y=0$ ，所以取 $C=0$ 。再由 $\varphi$ 的范围可得

$y=\ln (\tan (\varphi)+\sec (\varphi))$