note[18]

本文是有关命题的一些奇怪小知识。

题：令 $x \in \mathbb{R}$ ，若 $x^2 < 0$ ，则 $x < 0$ 。该命题是否为真命题？

解：是真命题。

为什么呢？考虑两种解法

• 考察原命题的逆否命题。对于命题 $p\to q$ ，其逆否命题为 $\neg q \to \neg p$

  定理1：任何命题等价于它的逆否命题（逆否命题的真假性与原命题一致）。

  在本题中，命题的逆否命题为「令 $x \in \mathbb{R}$ ，若 $x > 0$ ，则 $x^2>0$ 」，显然为真，则原命题为真命题。

• 命题「假命题 $\to$​​ 真/假命题」是真命题（假命题可以推出任何真命题）

  这个可以参考定义：

  设 $p,q$ 是命题，复合命题「若 $p$ 则 $q$ 」称作 $p$ 与 $q$ 的蕴含式，记作 $p \to q$

  定理2：命题 $p\to q$ 为假命题当且仅当 $p$ 为真命题且 $q$ 为假命题。

  • 推论1：设 $p,q$ 是命题，则 $p \to q\Longleftrightarrow \neg p \lor q$ 。（证明显然）

  • 推论2：设 $p$ 是假命题，$q$ 是任意命题，则 $p\to q$ 为真命题。

    证明：定理2的逆否命题。$p\to q$ 是真命题当且仅当 $p$ 是假命题或 $q$​ 是真命题。$\square$

  在本题中，$x^2 < 0$ 是假命题，则原命题为真命题。

提示：在数理逻辑中，$p\to q$ 中的 $p$ 和 $q$​ 不一定有什么内在联系。

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参考文献：

[1] 《离散数学（第六版）》耿素云、屈婉玲等