note[18]

本文是有关命题的一些奇怪小知识。

题：令 \(x \in \mathbb{R}\) ，若 \(x^2 < 0\) ，则 \(x < 0\) 。该命题是否为真命题？

解：是真命题。

为什么呢？考虑两种解法

• 考察原命题的逆否命题。对于命题 \(p\to q\) ，其逆否命题为 \(\neg q \to \neg p\)

  定理1：任何命题等价于它的逆否命题（逆否命题的真假性与原命题一致）。

  在本题中，命题的逆否命题为「令 \(x \in \mathbb{R}\) ，若 \(x > 0\) ，则 \(x^2>0\) 」，显然为真，则原命题为真命题。

• 命题「假命题 \(\to\)​​ 真/假命题」是真命题（假命题可以推出任何真命题）

  这个可以参考定义：

  设 \(p,q\) 是命题，复合命题「若 \(p\) 则 \(q\) 」称作 \(p\) 与 \(q\) 的蕴含式，记作 \(p \to q\)

  定理2：命题 \(p\to q\) 为假命题当且仅当 \(p\) 为真命题且 \(q\) 为假命题。

  • 推论1：设 \(p,q\) 是命题，则 \(p \to q\Longleftrightarrow \neg p \lor q\) 。（证明显然）

  • 推论2：设 \(p\) 是假命题，\(q\) 是任意命题，则 \(p\to q\) 为真命题。

    证明：定理2的逆否命题。\(p\to q\) 是真命题当且仅当 \(p\) 是假命题或 \(q\)​ 是真命题。\(\square\)

  在本题中，\(x^2 < 0\) 是假命题，则原命题为真命题。

提示：在数理逻辑中，\(p\to q\) 中的 \(p\) 和 \(q\)​ 不一定有什么内在联系。

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参考文献：

[1] 《离散数学（第六版）》耿素云、屈婉玲等