等式两侧求导是否正确？

答案：一般不正确。只有等式是恒等式时正确。

经典反例：求解 \(x^2=x\) 。如果你两边同时求导，会得到 \(2x=1\) 即 \(x=\frac{1}{2}\) ，纯属胡扯。

那么为什么不能同时求导呢？

因为上述反例中我们是在求方程的解，即对于 \(x=\) 某些值时，等式才成立

而导数是考察函数在某一区间上斜率的变化状况，这俩没什么直接关系。

好消息是，等式两侧求导在一些情况下是可以的，这种情况叫作：恒等式。

举例：设 \(f(x)\) 是可导函数，求证若 \(f(x)\) 是偶函数，\(f^{\prime}(x)\) 是奇函数。

证明：

由偶函数性质得 \[ f(x) - f(-x) = 0 \] 两侧求导 \[ f^{\prime}(x)+ f^{\prime}(-x) = 0 \] 显然 \(f^{\prime}(x)\) 是奇函数。\(\square\)​

提示：这里为什么可以求导呢？因为对于偶函数 \(f(x)\) ，\(f(x)-f(-x)=0\) 是一个恒等式