等式两侧求导是否正确？

答案：一般不正确。只有等式是恒等式时正确。

经典反例：求解 $x^2=x$ 。如果你两边同时求导，会得到 $2x=1$ 即 $x=\frac{1}{2}$ ，纯属胡扯。

那么为什么不能同时求导呢？

因为上述反例中我们是在求方程的解，即对于 $x=$ 某些值时，等式才成立

而导数是考察函数在某一区间上斜率的变化状况，这俩没什么直接关系。

好消息是，等式两侧求导在一些情况下是可以的，这种情况叫作：恒等式。

举例：设 $f(x)$ 是可导函数，求证若 $f(x)$ 是偶函数，$f^{\prime}(x)$ 是奇函数。

证明：

由偶函数性质得

$$f(x) - f(-x) = 0$$

两侧求导

$$f^{\prime}(x)+ f^{\prime}(-x) = 0$$

显然 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数。$\square$​

提示：这里为什么可以求导呢？因为对于偶函数 $f(x)$ ，$f(x)-f(-x)=0$ 是一个恒等式