随机变量
一、相关概念
在研究具体的随机现象时我们通常着重关注以下要素：
- 样本空间 \(\Omega\) ，指明随机现象所有可能出现的结果。
- 事件域 \(\mathcal{F}\) ，表示我们所关心的所有事件。
- 概率 \(P\) ，描述每一个事件发生的可能性大小。
我们将三元组 \((\Omega,\mathcal{F},P)\) 称为一个概率空间。
给定概率空间 \((\Omega,\mathcal{F},P)\) ，定义在样本空间 \(\Omega\) 上的函数 \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) 若满足：对任意 \(t \in \mathbb{R}\) 有 \[ \{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq t\} \in \mathcal{F} \] 则称 \(X\) 为随机变量。
示性函数
对于样本空间 \(\Omega\) 上的事件 \(A\) ，定义随机变量 \[ I_A(\omega)= \begin{cases}1, & \omega \in A \\ 0, & \omega \notin A\end{cases} \] 称 \(I_A\) 是事件 \(A\) 的示性函数。
分布函数
对于随机变量 \(X\) ，称函数 \[ F(x) = \mathrm{Pr}(X \le x) \] 为随机变量 \(X\) 的分布函数。记作 \(X \sim F(x)\) 。
分布函数具有以下性质：
- 右连续性：\(F(x) = F(x + 0)\)
- 单调性：在 \(\mathbb{R}\) 上单调不减。
- \(F(-\infty) = 0,~F(+\infty)=1\)
同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。
因此，分布函数与随机变量之间一一对应。
二、随机变量的分类
随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为离散型和连续性两种。
1. 离散型随机变量
设 \(X\) 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 \(x_1,x_2,\cdots\)
则我们可以用一系列形如 \(\mathrm{Pr}(X = x_i)=p_i\) 的等式来描述 \(X\) ，即所谓分布列。
2. 连续性随机变量
设 \(X\) 为连续型随机变量，考察 \(\mathrm{Pr}(X=x)\) 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 \(0\) ）
另一方面，设 \(X \sim F(x)\) ，则 \[ \mathrm{Pr}(l<x \leq l+\Delta x)=F(l+\Delta x)-F(l) \] 一个自然的想法使用极限 \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{F(l+\Delta x)-F(l)}{\Delta x} \] 来描述 \(X\) 取值为 \(l\) 的可能性。
这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 \(f(x)\) 使得 \[ F(x)=\int_{-\infty}^x f(x) \mathrm{d} x \] 若这样的 \(f(x)\) 存在，则称之为 \(X\) 的密度函数（概率密度函数）。
（参考 概率质量函数 ，离散随机变量的密度函数称为概率质量函数，）
三、随机变量的独立性
前面讨论了随机事件的独立性。
由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。
定义：
若随机变量 \(X,Y\) 满足对任意的 \(x,y \in R\) 都有 \[ \mathrm{Pr}(X \leq x, Y \leq y)= \mathrm{Pr}(X \leq x) \mathrm{Pr}(Y \leq y) \] 则称随机变量 \(X,Y\) 独立。（如果是离散型的随机变量，则可以用 \(\mathrm{Pr}(X=\alpha)\) 的形式类似地定义）
性质：
若随机变量 \(X,Y\) 相互独立，则对于任意函数 \(f,g\) ，随机变量 \(f(X)\) 与 \(g(Y)\) 相互独立。
参考文献：
