随机变量
一、相关概念
在研究具体的随机现象时我们通常着重关注以下要素：
- 样本空间 $\Omega$ ，指明随机现象所有可能出现的结果。
- 事件域 $\mathcal{F}$ ，表示我们所关心的所有事件。
- 概率 $P$ ，描述每一个事件发生的可能性大小。
我们将三元组 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 称为一个概率空间。
给定概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ，定义在样本空间 $\Omega$ 上的函数 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ 若满足：对任意 $t \in \mathbb{R}$ 有
则称 $X$ 为随机变量。
示性函数
对于样本空间 $\Omega$ 上的事件 $A$ ，定义随机变量
称 $I_A$ 是事件 $A$ 的示性函数。
分布函数
对于随机变量 $X$ ，称函数
为随机变量 $X$ 的分布函数。记作 $X \sim F(x)$ 。
分布函数具有以下性质：
- 右连续性：$F(x) = F(x + 0)$
- 单调性：在 $\mathbb{R}$ 上单调不减。
- $F(-\infty) = 0,~F(+\infty)=1$
同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。
因此，分布函数与随机变量之间一一对应。
二、随机变量的分类
随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为离散型和连续性两种。
1. 离散型随机变量
设 $X$ 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 $x_1,x_2,\cdots$
则我们可以用一系列形如 $\mathrm{Pr}(X = x_i)=p_i$ 的等式来描述 $X$ ，即所谓分布列。
2. 连续性随机变量
设 $X$ 为连续型随机变量，考察 $\mathrm{Pr}(X=x)$ 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 $0$ ）
另一方面，设 $X \sim F(x)$ ，则
一个自然的想法使用极限
来描述 $X$ 取值为 $l$ 的可能性。
这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 $f(x)$ 使得
若这样的 $f(x)$ 存在，则称之为 $X$ 的密度函数（概率密度函数）。
（参考 概率质量函数 ，离散随机变量的密度函数称为概率质量函数，）
三、随机变量的独立性
前面讨论了随机事件的独立性。
由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。
定义：
若随机变量 $X,Y$ 满足对任意的 $x,y \in R$ 都有
则称随机变量 $X,Y$ 独立。（如果是离散型的随机变量，则可以用 $\mathrm{Pr}(X=\alpha)$ 的形式类似地定义）
性质：
若随机变量 $X,Y$ 相互独立，则对于任意函数 $f,g$ ，随机变量 $f(X)$ 与 $g(Y)$ 相互独立。
参考文献：
