【数学】tricks 2 以值代参

与二次函数零点有关的一类问题，比如：

  “设 \(f(x) = x^2 + ax + b\) 在区间 \(D\) 上有两个零点，求 \(3a+b\)​ 的取值范围”

可以根据条件“区间 \(D\) 上有两个零点”构造一个关于 \(a,b\) 的不等式组，即构造一个可行域

再将 \(3a + b\)​ 看作目标函数，用线性规划来求解。这是一个费时费力的通法。

不过，如果我们换一个角度，将 \(3a + b\) 与函数值 \(f(3) = 9 + 3a + b\) 建立联系

用函数值来代替参数式，称之为“以值代参”，再根据韦达定理，用函数零点 \(x_1,x_2\) 来表示参数 \(a,b\) 。

题：已知函数 \(f(x) = x^2 + ax + b(a, b \in \mathbb{R})\) 在区间 \((0,1)\) 内有两个零点，求 \(3a + b\) 的取值范围。

解：记 \[ f(x) = x^2 + ax+ b = (x - x_1)(x - x_2)~(x_1,x_2 \in (0, 1)) \] 由韦达定理得 \[ \begin{aligned} 3a + b &= x_1x_2 - 3(x_1 + x_2) \\[6pt] &= (3 - x_1)(3-x_2) - 9 \in (-5, 0) \end{aligned} \]

与函数值 \(f(3)\) 建立联系的好处在于我们可以直接把零点 \(x_1,x_2\)​ 代入方程。

其他例题看情况补上。

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参考文献：

[1] 《至精至简的高中数学思想与方法——30讲破解高考反复考察内容》