【数学】tricks 2 以值代参
与二次函数零点有关的一类问题,比如:
“设 f(x)=x2+ax+bf(x)=x2+ax+b 在区间 DD 上有两个零点,求 3a+b3a+b 的取值范围”
可以根据条件“区间 DD 上有两个零点”构造一个关于 a,ba,b 的不等式组,即构造一个可行域
再将 3a+b3a+b 看作目标函数,用线性规划来求解。这是一个费时费力的通法。
不过,如果我们换一个角度,将 3a+b3a+b 与函数值 f(3)=9+3a+bf(3)=9+3a+b 建立联系
用函数值来代替参数式,称之为“以值代参”,再根据韦达定理,用函数零点 x1,x2x1,x2 来表示参数 a,ba,b 。
题:已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R) 在区间 (0,1)(0,1) 内有两个零点,求 3a+b3a+b 的取值范围。
解:记
f(x)=x2+ax+b=(x−x1)(x−x2) (x1,x2∈(0,1))f(x)=x2+ax+b=(x−x1)(x−x2) (x1,x2∈(0,1))由韦达定理得
3a+b=x1x2−3(x1+x2)=(3−x1)(3−x2)−9∈(−5,0)与函数值 f(3) 建立联系的好处在于我们可以直接把零点 x1,x2 代入方程。
其他例题看情况补上。
参考文献:
[1] 《至精至简的高中数学思想与方法——30讲破解高考反复考察内容》