【数学】trick 3 奇偶与对称

核心知识：

表达式 \(f(a+x) = \pm f(b - x)\) 中 \(x\) 的符号“一正一负”

1. 若 \(f(a+x) = f(b - x)\) ，则函数 \(f(x)\) 的图像关于直线 \(x = \frac{a+b}{2}\)​​ 对称。

   特别地：

   1. 若 \(f(x)\) 的图像关于直线 \(x=a\) 对称，则 \(f(a + x)=f(a - x)\) 或 \(f(x) = f(2a - x)\)
   2. 若 \(f(x)\) 的图像关于 \(y\) 轴对称，则 \(f(x) = f(-x)\) ，此时 \(f(x)\) 为偶函数。

2. 若 \(f(x) = 2b - f(2a - x)\) ，则函数 \(f(x)\) 的图像关于点 \((a,b)\)​ 对称。

   特别地：

   1. 若 \(f(x)\) 的图像关于 \((a,0)\) 对称，则 \(f(x) = -f(2a - x)\) 。
   2. 若 \(f(x)\) 的图像关于 \((0,0)\) 对称，则 \(f(x) = -f(-x)\) ，此时 \(f(x)\)​ 为奇函数。

思想方法：

图像对称的基础是图像上点与点之间的对称

因此抓住对称点之间的数量关系是解题关键，具体方法为 ①具体函数抽象化 ②抽象函数模型化

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题目

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参考文献：

[1] 《至精至简的高中数学思想与方法——30讲破解高考反复考察内容》

第四版本章的标题叫“对称对偶”

对称问题在高考题中经常出现，常见的有中心对称和轴对称两种。

图像对称的基础是图像上点与点的对称，因此抓住对称点之间的数量关系及内在联系

可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言，达到以简驭繁的效果。

对偶式是数学结构对称的一种表现形式，如 \(\sin x\) 与 \(\cos x\) 、\(+\) 和 \(-\)​ 、等比与等差

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题外话：

题目啥的我懒得打出来，直接拍照片了，反正不影响阅读。

本系列的文章旨在总结教辅书以及方便查阅。