洛谷U148838 数学黑洞 题解
题目链接：U148838 数学黑洞
本题为私题，作者 q779 （没错，就是本人！）
题意：
给定 $N \le 10^{114514}$ ，求 $F(N)=f(f(f(\cdots f(N))))$ 。
其中 $f(N)=N$ 中偶数的个数 $\times 100+ N$ 中奇数的个数 $\times 10 + N$ 的位数。
例如
题目保证一定有解。
输入：一行，$N$ 。 输出：一行，答案。
这道题是我初中的时候出的，当时从学校的数学报纸上看到的，难度评级入门到普及-吧。
实际上就是“西西弗斯串”（也叫 $123$ 数字黑洞），有兴趣可以百度（百度写的还可以）。
注意到 $f(123)=123$ ，即 $123$ 是原题的一个不动点。有趣的是，实际上任何 $N \in \mathbb{Z}$ 有 $F(N)=123$ 。
以下记 $f$ 中的三个数分别为 $a,b,c$ ，即 $f(N) = 100a + 10b + c$ 。
证明其实很简单，我们只需要分类讨论即可
- 当 $N$ 是一位数时
- 若 $N$ 为奇数，则 $a=0,~b=1,~c=1$ 得到 $011$ ，接着 $a=1,~b=2,~c=3$ 得到 $123$ 。
- 若 $N$ 为偶数，则 $a=1,~b=0,~c=1$ 得到 $101$ ，接着 $a=1,~b=2,~c=3$ 得到 $123$ 。
- 当 $N$ 是两位数时
- 一奇一偶，则 $a=1,~b=1,~c=2$ 得到 $112$ ，接着 $a=1,~b=2,~c=3$ 得到 $123$ 。
- 两个奇数，则 $a=0,~b=2,~c=2$ 得到 $022$ ，然后得到 $303$ ，最后还是得到 $123$ 。
- 两个偶数，则 $a=2,~b=0,~c=2$ 得到 $202$ ，然后得到 $303$ ，最后还是得到 $123$ 。
- 当 $N$ 是三位数时
- 三个偶数，则 $a=3,~b=0,~c=3$ 得到 $303$ ，接着 $a=1,~b=2,~c=3$ 得到 $123$
- 三个奇数，则 $a=0,~b=3,~c=3$ 得到 $033$ ，接着 $a=1,~b=2,~c=3$ 得到 $123$
- 两个偶数+一个奇数，则 $a=2,~b=1,~c=3$ 得到，接着 $a=1,~b=2,~c=3$ 得到 $123$
- 一个偶数+两个奇数，则 $a=1,~b=2,~c=3$ 直接得到 $123$ 。
- 当 $N$ 是四位数即四位数以上时，$c=a+b$ ，显然一次变化后比 $N$ 小，最终一定变成三位数的情况。$\square$
所以只需要输出 $123$ 即可。时间复杂度 $\mathcal{O}(1)$ ，主要代码就是：puts("123") 。
参考文献：
你别说，我出这题的时候还真不会证明呢（那时候哪有空证明这种东西啊）。
