拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理,也简称均值定理,是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名,为罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。
拉格朗日中值定理是三大微分中值定理之一。
1. 内容
如果函数 \(f(x)\) 满足
- 在闭区间 \([a,b]\) 上连续
- 在开区间 \((a,b)\) 内可微分
则至少有一点 \(\xi(a < \xi < b)\) ,使得 \[ f^{\prime}(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
2. 证明
令 \(g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot(x-a)+f(a)-f(x)\) ,那么
- \(g\) 在 \([a,b]\) 上连续
- \(g\) 在 \((a,b)\) 上可微分
- \(g(a)=g(b)=0\) 。
由罗尔定理,存在至少一点 \(\xi \in(a,b)\) 使得 \(g^{\prime}(\xi) = 0\) ,即 \(f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) 。
3. 其他形式
- \(f(b)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta(b-a))(b-a),~0<\theta<1\)
- \(f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta x,~0<\theta<1\)
参考文献: