拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，为罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

拉格朗日中值定理是三大微分中值定理之一。

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1. 内容

如果函数 $f(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可微分

则至少有一点 $\xi(a < \xi < b)$ ，使得

$$f^{\prime}(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

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2. 证明

令 $g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot(x-a)+f(a)-f(x)$ ，那么

1. $g$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. $g$ 在 $(a,b)$ 上可微分
3. $g(a)=g(b)=0$ 。

由罗尔定理，存在至少一点 $\xi \in(a,b)$ 使得 $g^{\prime}(\xi) = 0$ ，即 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。

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3. 其他形式

1. $f(b)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta(b-a))(b-a),~0<\theta<1$
2. $f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta x,~0<\theta<1$

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参考文献：

[1] https://zh.wikipedia.org/zh-hans/拉格朗日中值定理