广义二项式定理
二项式定理
\[ (x+y)^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{n-i}y^{i} \]
其中 \(x,y\in\mathbb{R},~n \in \mathbb{Z_+}\) 。这是高中数学中最令人熟悉的公式了。
广义二项式定理
定义牛顿二项式系数 \[ \binom{\alpha}{r} = \begin{cases} 0&r<0 \\[6pt]1,&r=1 \\[6pt]\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-r+1)}{r!},&r>0 \end{cases} \qquad(\alpha \in \mathbb{R},r\in \mathbb{Z}) \]
广义牛顿二项式定理 \[ (x+y) ^ {\alpha} = \sum_{r=0}^{\infty} \dbinom{\alpha}{r}x^{n-r}y^{r} \]
从形式上看和普通的二项式定理是很类似的。
上指标反转公式
设 \(n\) 为正整数 \[ \begin{aligned} (x+y)^{-n} &= \sum_{r=0}^{\infty} \binom{-n}{r}x^{n-r}y^{r} \\[6pt]&= \sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{r}\binom{r + n - 1}{r}x^{n-r}y^r \end{aligned} \] 这就是上指标反转公式 \[ \dbinom{-n}{r} = (-1)^r \dbinom{n + r -1}{r} \] 这样比原公式更方便记忆。
参考文献：
