广义二项式定理

二项式定理

$$(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{n-i}y^{i}$$

其中 $x,y\in\mathbb{R},~n \in \mathbb{Z_+}$ 。这是高中数学中最令人熟悉的公式了。

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广义二项式定理

定义牛顿二项式系数

$$\binom{\alpha}{r} = \begin{cases} 0&r<0 \\[6pt]1,&r=1 \\[6pt]\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-r+1)}{r!},&r>0 \end{cases} \qquad(\alpha \in \mathbb{R},r\in \mathbb{Z})$$

广义牛顿二项式定理

$$(x+y) ^ {\alpha} = \sum_{r=0}^{\infty} \dbinom{\alpha}{r}x^{n-r}y^{r}$$

从形式上看和普通的二项式定理是很类似的。

上指标反转公式

设 $n$ 为正整数

$$\begin{aligned} (x+y)^{-n} &= \sum_{r=0}^{\infty} \binom{-n}{r}x^{n-r}y^{r} \\[6pt]&= \sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{r}\binom{r + n - 1}{r}x^{n-r}y^r \end{aligned}$$

这就是上指标反转公式

$$\dbinom{-n}{r} = (-1)^r \dbinom{n + r -1}{r}$$

这样比原公式更方便记忆。

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参考文献：

[1] https://www.cnblogs.com/Asika3912333/p/11406614.html

[2] https://www.cnblogs.com/Judge/p/10549495.html