放缩法
放缩法是通过舍去或添加一些项来构造不等式的一种方法。
说了跟没说一样,我们来看几个例题。
例题1:
求证 \[ \sqrt{\log _2 3}+\sqrt{\log _3 2}<\sqrt{2}+1 \] 证明:构造以下不等式 \[ \sqrt{\log _2 3}+\sqrt{\log _3 2}<\sqrt{\log _2 4}+\sqrt{\log _3 3}=\sqrt{2}+1 \]
例题2:
求证 \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n} \] 证明:构造以下不等式 \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=2-\frac{1}{n} \]
好,后面的例题就比较复杂,没什么意义。
看到这里,放缩法其实已经显露原形了,就是我们常用到的,构造一个比较简易的边界。
当然不是所有这样的边界都很容易找到,但是这个方法还是有必要理解的。
参考文献:
[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E7%BC%A9%E6%B3%95