放缩法

放缩法是通过舍去或添加一些项来构造不等式的一种方法。

说了跟没说一样，我们来看几个例题。

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例题1：

求证

$$\sqrt{\log _2 3}+\sqrt{\log _3 2}<\sqrt{2}+1$$

证明：构造以下不等式

$$\sqrt{\log _2 3}+\sqrt{\log _3 2}<\sqrt{\log _2 4}+\sqrt{\log _3 3}=\sqrt{2}+1$$

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例题2：

求证

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n}$$

证明：构造以下不等式

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=2-\frac{1}{n}$$

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好，后面的例题就比较复杂，没什么意义。

看到这里，放缩法其实已经显露原形了，就是我们常用到的，构造一个比较简易的边界。

当然不是所有这样的边界都很容易找到，但是这个方法还是有必要理解的。

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参考文献：

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E7%BC%A9%E6%B3%95