证明一个数是无理数

例1：证明 $\sqrt{2}$ 是无理数。

证明：若 $\sqrt{2}$ 是有理数，则设它等于 $\frac{m}{n}~(m,n \in \mathbb{N}_+\land \gcd(m,n) = 1)$

则 $(\frac{m}{n})^2=\sqrt{2}^2=2$ ，即 $\frac{m^2}{n^2}=2$ ，可知 $m^2=2n^2$ ，因此 $m$ 是偶数。

设 $m=2k(k \in \mathbb{Z})$ ，则 $m^2=4k^2=2n^2$ ，可知 $n^2=2k^2$ ，因此 $n$ 是偶数。

因为 $m,n$ 互质，矛盾，所以 $\sqrt{2}$ 不是有理数，它是无理数。$\square$

例2：证明 $\mathrm{e}$ 是无理数。

证明：由麦克劳林级数可知： $e = \sum_{i = 0}^{+\infty} \frac{1}{i!}$ ，不知道可以看这篇

假设 $\mathrm{e} = \frac{a}{b} (a,b \in \mathbb{N_+} \land \gcd(a,b) = 1)$ ，任取正整数 $n$ 得 $b \cdot n!\cdot e = a \cdot n!$ ，展开左侧得

$$\begin{aligned} \text{Lhs}&\textstyle =b \cdot n ! \cdot\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\ldots\right) \\ &\textstyle =b \cdot n ! \cdot\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\ldots+\frac{1}{n !}\right)+b \cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots\right) \end{aligned}$$

显然前一部分是整数，但是后一部分并不是。设后面一部分为 $M$ ，则

$$\begin{aligned} \textstyle 0<M=b \cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\ldots\right) <b \cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^3}+\ldots\right)=\frac{b}{n} \end{aligned}$$

注：右边的等式用到了等比数列求和（我觉得我有必要补补文化课）

此时问题来了，如果这个 $n > b$ ，则 $0 < M < 1$ ，此时 $M$ 一定不为整数。因此 $\mathrm{e}$ 是无理数。$\square$