证明一个数是无理数
例1：证明 \(\sqrt{2}\) 是无理数。
证明：若 \(\sqrt{2}\) 是有理数，则设它等于 \(\frac{m}{n}~(m,n \in \mathbb{N}_+\land \gcd(m,n) = 1)\)
则 \((\frac{m}{n})^2=\sqrt{2}^2=2\) ，即 \(\frac{m^2}{n^2}=2\) ，可知 \(m^2=2n^2\) ，因此 \(m\) 是偶数。
设 \(m=2k(k \in \mathbb{Z})\) ，则 \(m^2=4k^2=2n^2\) ，可知 \(n^2=2k^2\) ，因此 \(n\) 是偶数。
因为 \(m,n\) 互质，矛盾，所以 \(\sqrt{2}\) 不是有理数，它是无理数。\(\square\)
例2：证明 \(\mathrm{e}\) 是无理数。
证明：由麦克劳林级数可知： \(e = \sum_{i = 0}^{+\infty} \frac{1}{i!}\) ，不知道可以看这篇
假设 \(\mathrm{e} = \frac{a}{b} (a,b \in
\mathbb{N_+} \land \gcd(a,b) = 1)\) ，任取正整数 \(n\) 得 \(b \cdot
n!\cdot e = a \cdot n!\) ，展开左侧得 \[
\begin{aligned}
\text{Lhs}&\textstyle =b \cdot n ! \cdot\left(1+\frac{1}{1
!}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\ldots\right) \\
&\textstyle =b \cdot n ! \cdot\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2
!}+\frac{1}{3 !}+\ldots+\frac{1}{n !}\right)+b
\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots\right)
\end{aligned}
\] 显然前一部分是整数，但是后一部分并不是。设后面一部分为 \(M\) ，则 \[
\begin{aligned}
\textstyle
0<M=b
\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\ldots\right)
<b
\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^3}+\ldots\right)=\frac{b}{n}
\end{aligned}
\]
注：右边的等式用到了等比数列求和（我觉得我有必要补补文化课）
此时问题来了，如果这个 \(n > b\) ，则 \(0 < M < 1\) ，此时 \(M\) 一定不为整数。因此 \(\mathrm{e}\) 是无理数。\(\square\)
