note[11]

解方程：$a^2 + a^3 = 392$

解1：

容易发现 $a = 7$ 是一个解。考虑因式分解（会用到 多项式除法）：

$$\begin{aligned} & a^2+a^3-392=0 \\[6pt]& (a-7)(a^2+8 a+56)=0 \end{aligned}$$

转化为解方程 $a^2+8 a+56 = 0$ ，易得原方程解为

$$a_1 = 7,~a_2 = -4+2\sqrt{10}i,~a_3 = -4-2\sqrt{10}i$$

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解2：

朴素的死算方法。

首先用 note 4 讲到过的方法消掉二次项，令 $b = a + \frac{1}{3}$ 得

$$b^3-\frac{1}{3} b-\frac{10582}{27}=0$$

根据卡尔达诺公式(Cardano formula)，得

$$p = -\frac{1}{3}, ~q =-\frac{10582}{27}$$

则方程的解为

$$\begin{aligned} & a_1=u+v-\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{5291}{27}-\frac{322}{3} \sqrt{\frac{10}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{5291}{27}+\frac{322}{3} \sqrt{\frac{10}{3}}}-\frac{1}{3} \\[8pt]& a_2=uw+vw^2-\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{5291}{27}-\frac{322}{3} \sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)+\sqrt[3]{\frac{5291}{27}+\frac{322}{3} \sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)-\frac{1}{3} \\[8pt]& a_3=uw^2+vw-\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{5291}{27}-\frac{322}{3} \sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)+\sqrt[3]{\frac{5291}{27}+\frac{322}{3} \sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)-\frac{1}{3} \end{aligned}$$

考虑化简，右转 WolframAlpha ，易得

$$a_1 = 7,~a_2 = -4+2\sqrt{10}i,~a_3 = -4-2\sqrt{10}i$$