note[11]
解方程:\(a^2 + a^3 = 392\)
解1:
容易发现 \(a = 7\) 是一个解。考虑因式分解(会用到 多项式除法):
\[ \begin{aligned} & a^2+a^3-392=0 \\[6pt]& (a-7)(a^2+8 a+56)=0 \end{aligned} \] 转化为解方程 \(a^2+8 a+56 = 0\) ,易得原方程解为 \[ a_1 = 7,~a_2 = -4+2\sqrt{10}i,~a_3 = -4-2\sqrt{10}i \]
解2:
朴素的死算方法。
首先用 note 4
讲到过的方法消掉二次项,令 \(b = a +
\frac{1}{3}\) 得 \[
b^3-\frac{1}{3} b-\frac{10582}{27}=0
\] 根据卡尔达诺公式(Cardano formula),得 \[
p = -\frac{1}{3}, ~q =-\frac{10582}{27}
\] 则方程的解为 \[
\begin{aligned}
& a_1=u+v-\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{5291}{27}-\frac{322}{3}
\sqrt{\frac{10}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{5291}{27}+\frac{322}{3}
\sqrt{\frac{10}{3}}}-\frac{1}{3}
\\[8pt]&
a_2=uw+vw^2-\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{5291}{27}-\frac{322}{3}
\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}
i\right)+\sqrt[3]{\frac{5291}{27}+\frac{322}{3}
\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}
i\right)-\frac{1}{3}
\\[8pt]&
a_3=uw^2+vw-\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{5291}{27}-\frac{322}{3}
\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}
i\right)+\sqrt[3]{\frac{5291}{27}+\frac{322}{3}
\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}
i\right)-\frac{1}{3}
\end{aligned}
\] 考虑化简,右转 WolframAlpha
,易得 \[
a_1 = 7,~a_2 = -4+2\sqrt{10}i,~a_3 = -4-2\sqrt{10}i
\]