note[10]
问:甲有 \(101\) 个硬币,乙有 \(100\) 个硬币,两人随机撒在地面上,甲比乙正面朝上多的概率是多少
解:答案为 \(\frac{1}{2}\)
证明1:
考虑“甲比乙正面朝上多”和“甲比乙反面朝上多”这两个事件。
因为甲的硬币总数比乙多,这两件事至少发生一个。
然而,这两个事件又不可能同时发生,否则甲至少要比乙多两个硬币才行。
所以,要么甲比乙正面朝上多,要么甲比乙反面朝上多。
根据对称性,这两个事件是等可能的,所以概率各为 \(\frac{1}{2}\)。
证明2:
甲先投 \(100\) 枚,记此时甲乙朝上硬币数量相等概率为 \(p\) , 则甲此时比乙多的概率为 \(\frac{1}{2}(1-p)\) ,
故甲投下第 \(101\) 枚硬币后朝上硬币比乙多的概率为: \[ \frac{1}{2}(1-p) + \frac{1}{2}p = \frac{1}{2} \]
参考文献:
[1] https://www.zhihu.com/question/444606927/answer/1749535576
[2] https://www.zhihu.com/question/444606927/answer/1753488327