note[10]

问：甲有 $101$ 个硬币，乙有 $100$ 个硬币，两人随机撒在地面上，甲比乙正面朝上多的概率是多少

解：答案为 $\frac{1}{2}$

证明1：

考虑“甲比乙正面朝上多”和“甲比乙反面朝上多”这两个事件。

因为甲的硬币总数比乙多，这两件事至少发生一个。

然而，这两个事件又不可能同时发生，否则甲至少要比乙多两个硬币才行。

所以，要么甲比乙正面朝上多，要么甲比乙反面朝上多。

根据对称性，这两个事件是等可能的，所以概率各为 $\frac{1}{2}$。

证明2：

甲先投 $100$ 枚，记此时甲乙朝上硬币数量相等概率为 $p$ ， 则甲此时比乙多的概率为 $\frac{1}{2}(1-p)$ ，

故甲投下第 $101$ 枚硬币后朝上硬币比乙多的概率为：

$$\frac{1}{2}(1-p) + \frac{1}{2}p = \frac{1}{2}$$

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参考文献：

[1] https://www.zhihu.com/question/444606927/answer/1749535576

[2] https://www.zhihu.com/question/444606927/answer/1753488327