抛物线方程
一、抛物线的定义
平面内与一个定点 \(F\) 和一条定直线 \(l\) （ \(l\) 不经过点 \(F\) ）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。
其中，点 \(F\) 叫作抛物线的焦点，直线 \(l\) 叫作抛物线的准线。
与双曲线的对比：
当抛物线上的点趋于无穷远时，曲线上点的切线和对称轴近似平行
当双曲线上的点趋于无穷远时，曲线上点的切线和渐近线近似平行
抛物线没有渐近线。
从方程上看，抛物线方程与双曲线方程有很大差别。
与二次函数的对比：
- 二次函数和抛物线没有任何直接关系！
- 两者在形式和图像上虽然很相似，但二次函数只是长的像抛物线罢了。
二、抛物线的标准方程
有一说一，这个 WPS 真的不好用，还得一个个公式的贴上去
Tips：
只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式。
注意标准方程中 \(p\) 均为正数，开口方向与坐标轴正负方向一致。
因此在用方程 \(y = ax^2\) 或 \(x=ay^2\) 求焦点和准线时，应当先化成标准形式。
三、抛物线的几何性质
不失一般性，我们讨论抛物线 \(y^2 = 2px\) 的几何性质
抛物线的范围：
由 \(p > 0\) 和方程 \(y^2 = 2px(p > 0)\) 可知，对于抛物线上的点 \(M(x,y)\) 有 \(x \ge 0, y \in \mathbb{R}\) 。
当 \(x > 0\) 时，抛物线在 \(y\) 轴的右侧，开口方向与 \(x\) 轴的正方向相同。
当 \(x\) 增大时，\(|y|\) 的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线的对称性：
抛物线 \(y^2 = 2px(p>0)\) 关于 \(x\) 轴对称，并称抛物线的对称轴为抛物线的轴。
抛物线的顶点：
抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点。
当 \(x = 0\) 时，\(y = 0\) ，因此抛物线的顶点就是原点（所有抛物线都是这样）。
抛物线的离心率：
抛物线上的点 \(M\) 与焦点 \(F\) 的距离和点 \(M\) 到准线的距离 \(d\) 的比 \(\frac{|MF|}{d}\) ，
叫作抛物线的离心率。由抛物线的定义可知，\(e = 1\) 。（
至此，圆锥曲线大一统）总结一下，\(e=1\) 时圆锥曲线为抛物线。
当 \(e\ne 1\) 时，若 \(0 < e < 1\) ，曲线为椭圆；若 \(e > 1\) ，曲线为双曲线。
抛物线的开口大小：
从方程的角度看：
在方程 \(y^2=2 p x(p>0)\) 中，当 \(x\) 固定时， \(p\) 越大， \(|y|\) 也越大
即对应的点离对称轴越远，即 \(p\) 越大，开口越大 ；反之 \(p\) 越小，开口越小。
从图形的角度看：
因为当 \(x = \frac{p}{2}\) 时， \(y = \pm p\) ，所以 \(|AB| = 2p\) ，线段 \(AB\) 叫作抛物线的通径。
通径长为 \(2p\) ，所以 \(p\) 越大，开口越大；反之 \(p\) 越小，开口越小
焦半径公式
设 \(M\) 为抛物线上的一点，焦点为 \(F\) ，则线段 \(MF\) 叫作抛物线的焦半径。
- 若 \(M\left(x_0, y_0\right)\) 在拋物线 \(y^2=2 p x(p>0)\) 上，则 \(|M F|=\frac{p}{2}+x_0\)
- 若 \(M\left(x_0, y_0\right)\) 在抛物线 \(y^2=-2 p x(p>0)\) 上，则 \(|M F|=\frac{p}{2}-x_0\)
- 若 \(M\left(x_0, y_0\right)\) 在抛物线 \(x^2=2 p y(p>0)\) 上，则 \(|M F|=\frac{p}{2}+y_0\)
- 若 \(M\left(x_0, y_0\right)\) 在抛物线 \(x^2=-2 p y(p>0)\) 上，则 \(|M F|=\frac{p}{2}-y_0\) 。
利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离，转化为到准线的距离（两者相等）
一般来说，涉及过焦点的直线与抛物线的焦点问题，利用此公式解决较为简单。
例1：
已知点 \(A(2,0)\) ，抛物线 \(C: x^2=4 y\) 的焦点为 \(F\)
射线 \(F A\) 与抛物线 \(C\) 相交于点 \(M\) ，与其准线 \(l\) 相交于点 \(N\) ，求 \(|FM| : |MN|\) 。
解：
如图，过点 \(M\) 作 \(MH \perp l\) ，垂足为 \(H\) 。
由抛物线的定义知 \(M\) 到 \(F\) 的距离等于 \(M\) 到准线 \(l\) 的距离 \(MH\) 。
即 \(|FM| : |MN| = |MH| : |MN| = |FO| : |AF| = 1 : \sqrt{5}\) 。
例2：
等边三角形的一个定点位于坐标原点，另外两个定点在抛物线 \(y^2 = 2px(p > 0)\) 上，求这个等边三角形的边长。
解：
如图，设等边三角形 \(OAB\) 的定点
\(A,B\)
在抛物线上
且坐标分别为 \(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)\) ，则 \(y_1^2 = 2px_1,~y_2^2 = 2px_2\) 。
又 \(|OA| = |OB|\) 所以 \(x^2_1 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\) ，即 \(x_1^2-x_2^2+2 p x_1-2 p x_2=0\)
整理得 \(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2+2 p\right)=0\) ，因为 \(x_1>0, x_2>0,2 p>0\) 所以 \(x_1 = x_2\) ，由此可得 \(|y_1|= |y_2|\) 。
即线段 \(AB\) 关于 \(x\) 轴对称，由此得 \(\angle AOx = 30^{\circ}\) ，所以 \(y_1=\frac{\sqrt{3}}{3} x_1\) ，与 \(y_1^2=2 p x_1\) 联立，解得 \(y_1=2 \sqrt{3} p\)
所以边长 \(|A B|=2 y_1=4 \sqrt{3} p\) 。
四、直线与抛物线的位置关系
设直线 \(l : y = kx + m\) ，抛物线 \(y^2 = 2px(p > 0)\)
将直线方程与抛物线方程联立，整理为关于 \(x\) 的方程 \(k^2 x^2+(2 k m-2 p) x+m^2=0\) 。
- 若 \(k = 0\) ，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴，或与抛物线的对称轴重合。
- 若 \(k\ne 0\)
，则对方程的根的判别式 \(\Delta\)
进行分类讨论：
- 当 \(\Delta > 0\) 时，直线与抛物线相交，有两个交点。
- 当 \(\Delta = 0\) 时，直线与抛物线相切，有一个交点。
- 当 \(\Delta < 0\) 时，直线与抛物线相离，无交点。
可以发现，直线与抛物线只有一个焦点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。
五、抛物线的焦点弦问题
1. 焦点弦常用结论
如图，\(AB\) 是抛物线 \(y^2 = 2px(p > 0)\) 过焦点 \(F\) 的一条弦
设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，\(AB\) 的中点 \(M(x_0,y_0)\)
过 \(A,M,B\) 分别想抛物线的准线作垂线，垂足分别为 \(A_1,M_1,B_1\)
则根据抛物线的定义，对于抛物线的焦点弦有如下结论：
\(x_1x_2 = \frac{p^2}{4},~y_1y_2 = -p^2\)
若直线 \(AB\) 的倾斜角为 \(\vartheta\) ，且 \(A\) 位于 \(x\) 轴上方，\(B\) 位于 \(x\) 轴下方，则 \[ |AF| = \dfrac{p}{1 - \cos \vartheta}\quad|BF| = \dfrac{p}{1 + \cos \vartheta} \]
\(|A B|=x_1+x_2+p=\frac{2 p}{\sin ^2 \vartheta}\) ，其中 \(\vartheta\) 为直线 \(AB\) 的倾斜角
