抛物线方程

一、抛物线的定义

平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ （ $l$ 不经过点 $F$ ）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。

其中，点 $F$ 叫作抛物线的焦点，直线 $l$ 叫作抛物线的准线。

与双曲线的对比：

当抛物线上的点趋于无穷远时，曲线上点的切线和对称轴近似平行

当双曲线上的点趋于无穷远时，曲线上点的切线和渐近线近似平行
抛物线没有渐近线。
从方程上看，抛物线方程与双曲线方程有很大差别。

与二次函数的对比：

二次函数和抛物线没有任何直接关系！
两者在形式和图像上虽然很相似，但二次函数只是长的像抛物线罢了。

二、抛物线的标准方程

~~有一说一，这个 WPS 真的不好用，还得一个个公式的贴上去~~

Tips：

只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式。
注意标准方程中 $p$ 均为正数，开口方向与坐标轴正负方向一致。

因此在用方程 $y = ax^2$ 或 $x=ay^2$ 求焦点和准线时，应当先化成标准形式。

三、抛物线的几何性质

不失一般性，我们讨论抛物线 $y^2 = 2px$ 的几何性质

抛物线的范围：

由 $p > 0$ 和方程 $y^2 = 2px(p > 0)$ 可知，对于抛物线上的点 $M(x,y)$ 有 $x \ge 0, y \in \mathbb{R}$ 。

当 $x > 0$ 时，抛物线在 $y$ 轴的右侧，开口方向与 $x$ 轴的正方向相同。

当 $x$ 增大时， $|y|$ 的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线的对称性：

抛物线 $y^2 = 2px(p>0)$ 关于 $x$ 轴对称，并称抛物线的对称轴为抛物线的轴。
抛物线的顶点：

抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点。

当 $x = 0$ 时， $y = 0$ ，因此抛物线的顶点就是原点（所有抛物线都是这样）。
抛物线的离心率：

抛物线上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离和点 $M$ 到准线的距离 $d$ 的比 $\frac{|MF|}{d}$ ，

叫作抛物线的离心率。由抛物线的定义可知， $e = 1$ 。（~~至此，圆锥曲线大一统~~）

总结一下， $e=1$ 时圆锥曲线为抛物线。

当 $e\ne 1$ 时，若 $0 < e < 1$ ，曲线为椭圆；若 $e > 1$ ，曲线为双曲线。
抛物线的开口大小：
1. 从方程的角度看：
  
  在方程 $y^2=2 p x(p>0)$ 中，当 $x$ 固定时， $p$ 越大， $|y|$ 也越大
  
  即对应的点离对称轴越远，即 $p$ 越大，开口越大 ；反之 $p$ 越小，开口越小。
2. 从图形的角度看：
  
  因为当 $x = \frac{p}{2}$ 时， $y = \pm p$ ，所以 $|AB| = 2p$ ，线段 $AB$ 叫作抛物线的通径。
  
  通径长为 $2p$ ，所以 $p$ 越大，开口越大；反之 $p$ 越小，开口越小
焦半径公式

设 $M$ 为抛物线上的一点，焦点为 $F$ ，则线段 $MF$ 叫作抛物线的焦半径。
- 若 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在拋物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 上，则 $|M F|=\frac{p}{2}+x_0$
- 若 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在抛物线 $y^2=-2 p x(p>0)$ 上，则 $|M F|=\frac{p}{2}-x_0$
- 若 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在抛物线 $x^2=2 p y(p>0)$ 上，则 $|M F|=\frac{p}{2}+y_0$
- 若 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在抛物线 $x^2=-2 p y(p>0)$ 上，则 $|M F|=\frac{p}{2}-y_0$ 。
利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离，转化为到准线的距离（两者相等）

一般来说，涉及过焦点的直线与抛物线的焦点问题，利用此公式解决较为简单。

例1：

已知点 $A(2,0)$ ，抛物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$

射线 $F A$ 与抛物线 $C$ 相交于点 $M$ ，与其准线 $l$ 相交于点 $N$ ，求 $|FM| : |MN|$ 。

解：

如图，过点 $M$ 作 $MH \perp l$ ，垂足为 $H$ 。

由抛物线的定义知 $M$ 到 $F$ 的距离等于 $M$ 到准线 $l$ 的距离 $MH$ 。

即 $|FM| : |MN| = |MH| : |MN| = |FO| : |AF| = 1 : \sqrt{5}$ 。

例2：

等边三角形的一个定点位于坐标原点，另外两个定点在抛物线 $y^2 = 2px(p > 0)$ 上，求这个等边三角形的边长。

解：

如图，设等边三角形 $OAB$ 的定点 $A,B$ 在抛物线上

且坐标分别为 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ ，则 $y_1^2 = 2px_1,~y_2^2 = 2px_2$ 。

又 $|OA| = |OB|$ 所以 $x^2_1 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2$ ，即 $x_1^2-x_2^2+2 p x_1-2 p x_2=0$

整理得 $\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2+2 p\right)=0$ ，因为 $x_1>0, x_2>0,2 p>0$ 所以 $x_1 = x_2$ ，由此可得 $|y_1|= |y_2|$ 。

即线段 $AB$ 关于 $x$ 轴对称，由此得 $\angle AOx = 30^{\circ}$ ，所以 $y_1=\frac{\sqrt{3}}{3} x_1$ ，与 $y_1^2=2 p x_1$ 联立，解得 $y_1=2 \sqrt{3} p$

所以边长 $|A B|=2 y_1=4 \sqrt{3} p$ 。

四、直线与抛物线的位置关系

设直线 $l : y = kx + m$ ，抛物线 $y^2 = 2px(p > 0)$

将直线方程与抛物线方程联立，整理为关于 $x$ 的方程 $k^2 x^2+(2 k m-2 p) x+m^2=0$ 。

若 $k = 0$ ，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴，或与抛物线的对称轴重合。
若 k≠0 ，则对方程的根的判别式 Δ 进行分类讨论：
- 当 $\Delta > 0$ 时，直线与抛物线相交，有两个交点。
- 当 $\Delta = 0$ 时，直线与抛物线相切，有一个交点。
- 当 $\Delta < 0$ 时，直线与抛物线相离，无交点。

可以发现，直线与抛物线只有一个焦点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。

五、抛物线的焦点弦问题

1. 焦点弦常用结论

如图， $AB$ 是抛物线 $y^2 = 2px(p > 0)$ 过焦点 $F$ 的一条弦

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ ， $AB$ 的中点 $M(x_0,y_0)$

过 $A,M,B$ 分别想抛物线的准线作垂线，垂足分别为 $A_1,M_1,B_1$

则根据抛物线的定义，对于抛物线的焦点弦有如下结论：

$x_1x_2 = \frac{p^2}{4},~y_1y_2 = -p^2$
若直线 $AB$ 的倾斜角为 $\vartheta$ ，且 $A$ 位于 $x$ 轴上方， $B$ 位于 $x$ 轴下方，则
$|AF| = \dfrac{p}{1 - \cos \vartheta}\quad|BF| = \dfrac{p}{1 + \cos \vartheta}$
$|A B|=x_1+x_2+p=\frac{2 p}{\sin ^2 \vartheta}$ ，其中 $\vartheta$ 为直线 $AB$ 的倾斜角