双曲线方程

平面内「与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离的差」的绝对值，等于非零常数（小于 $\left|F_1 F_2\right|$ ）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距。

一、双曲线的标准方程

下文中的 $c$ 定义为 $c^2 = a ^ 2 + b ^ 2 \Rightarrow b^2 = c^2 - a ^ 2$ ，请注意与椭圆区分。

设焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ ，即在 $x$ 轴上，则有标准方程

$$\begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 &&(a>0, b>0) \end{aligned}$$

设焦点 $F_1(0,-c),F_2(0,c)$ ，即在 $y$ 轴上，则有标准方程

$$\begin{aligned} \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 &&(a>0, b>0) \end{aligned}$$

双曲线的标准方程的特点

1. 在判别 $a,b$ 上，椭圆是看 $a,b$ 大小，而双曲线是看 $a,b$ 的正负。

2. 在图像上，椭圆是连续封闭曲线，双曲线分两支，不封闭也不连续。

3. 方程 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$ 表示双曲线当且仅当 $mn < 0$ 。

   双曲线的焦点位置取决于 $m,n$ 的正负，这里就不细讲了。

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二、双曲线的一般方程

双曲线的一般方程为

$$\begin{aligned} Ax^2 + By^2 = C && AB < 0 \land C \ne 0 \end{aligned}$$

转为标准方程即为

$$\frac{x^2}{\frac{C}{A}} + \frac{y^2}{\frac{C}{B}} = 1$$

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三、双曲线的简单几何性质

1. 双曲线的对称性：

   从图像也可以看出，双曲线是一个轴对称的图像，对称轴为 $x,y$ 轴（当然也关于原点对称）

2. 双曲线的顶点

   定义：双曲线与它的对称轴的交点叫作双曲线的顶点。

   这两个顶点的位置为 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$ ，线段 $A_1A_2$ 被称为双曲线的实轴，其长度等于 $2a$ 。

3. 双曲线的虚轴端点

   令 $x = 0$ 时得 $y^2 = -b^2$ ，虽然没有实数解，

   但是人为规定 $B_1(b,0),B_2(-b,0)$ 为双曲线的虚轴端点，线段 $B_1B_2$ 为双曲线的虚轴，其长度等于 $2b$ 。

4. 双曲线的弦

   双曲线的弦定义为直线与双曲线两交点的线段长，因此双曲线的弦可以是与双曲线的一支或者两支形成的。

5. 双曲线的范围

   因为双曲线上的点的坐标满足 $\frac{x^2}{a^2}-1=\frac{y^2}{b^2} \ge 0$ ，即 $x^2 \ge a^2 \Rightarrow x \in (-\infty,-a] \cup [a,\infty)$

   所以双曲线在 $x \in (-a,a)$ 内是没有图像的，并且当 $x \to \infty$ 时 $y \to \infty$ ，因此双曲线是无限延伸的。

6. **双曲线的渐近线**

   1. 一般地，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的两支向外延伸时，

      与两条直线 $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$ 逐渐接近，我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线。

   2. 焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 。

   3. 焦点在 $y$ 轴上的双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{a}{b}x$ 。

   4. 当 $a = b$ 时，双曲线的方程为 $x ^ 2 - y^2 = a^2$ ，它的实轴和虚轴相等

      我们把实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线。

      等轴双曲线的渐近线方程是 $y = \pm x$ ，它们相互垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角

   5. 双曲线和它的渐进线逐渐接近但用不相交。

   6. 利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线。

      事实上，渐近线就是矩形对角线（所在的直线）

   7. 渐近线方程总结

      $x$ 轴，方程两个（等价）

      $$\begin{aligned} \frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0 && y = \pm \frac{b}{a}x \end{aligned}$$

      $y$ 轴，方程两个（等价）

      $$\begin{aligned} \frac{y}{a} \pm \frac{x}{b}=0 && y = \pm \frac{a}{b}x \end{aligned}$$

7. 双曲线的离心率：

   双曲线的焦距与实轴的长的比 $e=\frac{c}{a}$ 叫作双曲线的离心率，显然 $e > 1$ （圆锥曲线的性质）

   离心率的意义，离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小（渐近线斜率大小）。

   因为 $\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{c^2-a^2}{a^2}}=\sqrt{e^2-1}$ ，所以 $e$ 越大， $\frac{b}{a}$ 越大，则双曲线的开口越大。

   特别地，等轴双曲线的两渐近线互相垂直，且离心率为 $e = \sqrt{2}$ 。

   离心率的其他性质：

   • 根据关系式 $c^2 = a ^ 2 + b ^ 2 ,\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1,e = \frac{c}{a}$ 可知 $a,b,c,e$ 四个参数中，

     已知其中两个就可根据上式求得另外两个，这是一个显然但重要的性质。

   • 若双曲线的焦点在 $x$ 轴上，渐近线的倾斜角为 $\vartheta ( 0 < \vartheta < \frac{\pi}{2})$ ，

     则 $\cos \vartheta = \frac{a}{c} = \frac{1}{e}$ ，即 $e = \frac{1}{\cos \vartheta}$ 。

   求双曲线离心率的常用方法：

   1. 若已知 $a,b$ ，则直接利用 $e = \sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2}$ 。

   2. 若已知关于 $a,c$ 的齐次方程，即 $p\cdot c^2 +q \cdot ac + r\cdot a^2 = 0(p,q,r$ 均为常数且 $p\ne 0)$

      则转化为关于 $e$ 的方程 $p\cdot e^2 + q\cdot e + r = 0$ 求解。

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四、直线与双曲线的位置关系

研究直线与双曲线的关系，一般联立直线方程和双曲线方程，通过解的个数进行判断。

把 $y = kx + m$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $\left(b^2-a^2 k^2\right) x^2-2 a^2 m k x-a^2 m^2-a^2 b^2=0$

• 当 $b^2-a^2 k^2 = 0$ 时，即 $k = \pm \frac{b}{a}$ 时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点。
• 当 $b^2 - a^2k^2\ne 0$ 时，即 $k \ne \pm \frac{b}{a}$ 时，$\Delta = (-2a^2mk)^2 - 4(b^2 - a^2k^2)\cdot (-a^2m^2-a^2b^2)$
  • $\Delta >0$ ，直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交。
  • $\Delta = 0$ ，直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切。
  • $\Delta < 0$ ，直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离。

对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论

1. 若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件

   $$(\Delta > 0) \land (x_1 + x_2 >0) \land (x_1x_2 > 0)$$

2. 若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件

   $$(\Delta > 0) \land (x_1 + x_2 <0) \land (x_1x_2 > 0)$$

3. 若一条直线与双曲线的左右两支各有一个焦点，则应满足条件

   $$(\Delta > 0) \land (x_1x_2 < 0)$$

通过几何图形也可判断直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断

设 $\alpha$ 为渐近线的倾斜角，$\vartheta$ 为直线的倾斜角。

1. 当 $\vartheta = \alpha$ 时，直线 $l$ 只与双曲线的一支相交，交点只有一个。
2. 当 $\vartheta > \alpha$ 时，直线 $l$ 与双曲线的一支相交，但是交点有两个。
3. 当 $\vartheta < \alpha$ 时，直线 $l$ 与双曲线的两支都相交，交点有两个。

注意，若直线与椭圆相切，则直线与椭圆只有一个公共点；

但是，若直线与椭圆只有一个公共的，直线与椭圆相切 或 与渐近线平行。

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五、双曲线的第二定义

平面内，当动点 $M$ 到一个定点的距离和它到一条定直线（点不在直线上）的距离之比是常数 $e = \frac{c}{a}(e > 1)$ 时

这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数 $e$ 是双曲线的离心率。

具体地

• 当点 $M(x,y)$ 到定点 $F_1(-c,0)$ 的距离与它到直线 $x = -\frac{a^2}{c}$ 的距离之比是常数 $\frac{c}{a}(c > a > 0)$ 时

  点 $M$ 的轨迹方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0, b>0 \land a^2+b^2=c^2\right)$

• 当点 $M(x,y)$ 到定点 $F_2(c,0)$ 的距离与它到直线 $x = \frac{a^2}{c}$ 的距离之比是常数 $\frac{c}{a}(c > a > 0)$ 时

  点 $M$ 的轨迹方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0, b>0 \land a^2+b^2=c^2\right)$

这里的定义和椭圆的第二定义的唯一区别就在于 $e$ 的大小。（准线方程甚至没变）

同时要注意的是，准线与焦点是一一对应的，左焦点对左准线，右焦点对右准线。

设 $M$ 为双曲线上任意一点，其到 $F_1$ 的距离为 $d_1$ ，到 $F_2$ 的距离为 $d_2$ ，则 $\frac{\left|M F_1\right|}{d_1}=\frac{\left|M F_2\right|}{d_2}=e$

即 $|MF_1| = ed_1,|MF_2| = ed_2$ ，这样就可将双曲线上的点到焦点的距离问题转化为该点到准线的距离问题。

焦准距（焦点到相应准线的距离） $c - \frac{a^2}{c} = \frac{b^2}{c}$ 。（居然也结论没变，就是减的方向改了一下）

例1：

双曲线 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ 上一点 $P$ 到双曲线右点的距离是 $4$ ，那么点 $P$ 到左准线的距离是_______ 。

解：（两种方法）

答案是 $16$ 。

1. 由题意知点 $P$ 在双曲线右支上，离心率 $e=\frac{5}{4}$ 。

   设点 $P$ 到右准线的距离是 $d$ ，由双曲线第二定义得 $\frac{4}{d}=\frac{5}{4}$ ，解得 $d=\frac{16}{5}$

   所以点 $P$ 到左准线的距离等于 $2\times \frac{64}{10}+\frac{16}{5}=16$

2. 由题意知点 $P$ 在双曲线右支上，由 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ 可知 $a=8, b=6$ ，则 $c=10$ 。

   设双曲线的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，由 $\left|P F_2\right|=4$ 及双曲线的第一定义得 $\left|P F_1\right|=16+4=20$ 。

   设点 $P$ 到左准线的距离为 $d$ ，由双曲线的第二定义得 $\frac{20}{d}=\frac{10}{8}$ ，所以 $d=16$ 。

例2：

已知点 $A(3,2), F(2,0)$ 在双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 上

若有一点 $P$ ，使 $|P A|+\frac{1}{2}|P F|$ 的值最小，求 $P$ 点的坐标。

解：

因为 $a=1,b=\sqrt{3}$ 所以 $c=2$ ，所以 $e = 2$ 。

设点 $P$ 到焦点 $F(2,0)$ 相应的准线的距离为 $d$ ，则 $\frac{|P F|}{d}=2$ ，即 $\frac{1}{2}|P F|=d$ 。

因此 $|P A|+\frac{1}{2}|P F|=|P A|+d$ ，问题转化为在双曲线上求点 $P$ ，使 $P$ 到定点 $A$ 的距离，

与到相应准线的距离的和最小，显然，当直线 $P A$ 垂直于准线时符合题意。

又当 $y=2$ 时，$x=\frac{\sqrt{21}}{3}$ （ $x=-\frac{\sqrt{21}}{3}$ 不合题意，舍弃）。 故 $P$ 点的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{21}}{3}, 2\right)$ 。

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六、利用双曲线的定义解题

1. 动点的轨迹方程问题

如果平面上的动点 $P(x,y)$ 满足条件：$\big||P F_1|-| P F_2|\big|=2 a$

其中 $2a$是定长，并且不妨设 $F_1,F_2$ 在 $x$ 轴上且坐标为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 。

• 当 $2a < |F_1F_2|$ 时，$P$ 点的轨迹为双曲线。

• 当 $2a=|F_1F_2|$ 时，$P$ 点的轨迹为两条射线，端点为 $F_1$ 和 $F_2$ ，或者说是 $x$ 轴去掉 $(-c,c)$ 。

• 当 $2a > |F_1F_2|$ 时，这样的点 $P$ 不存在

特别地，如果满足的是 $|P F_1|-| P F_2|=2 a$ ，则它是双曲线的一支，或一条射线。

例：

已知动圆 $M$ 与圆 $C_1: (x+4)^2+y^2=2$ 外切，

与圆 $C_2 : (x-4)^2+y^2=2$ 内切，求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程。

解：

如图，设动圆 $M$ 的半径为 $r$ ，易知圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的半径均为 $\sqrt{2}$

由题意得 $|MC_1| = r + \sqrt{2},|MC_2| = r - \sqrt{2}$ ，则 $|MC_1| - |MC_2| = 2\sqrt{2}$ 。

又点 $C_1(-4,0),C_2(4,0)$ ，所以 $|C_1C_2| = 8 > 2\sqrt{2}$ 。

根据双曲线的定义可知，点 $M$ 是以 $C_1(-4,0),C_2(4,0)$ 为焦点的双曲线的右支。

因为 $a = \sqrt{2},c = 4$ ，所以 $b^2 = c^2-a^2 = 14$ 。故动圆圆心 $M$ 的轨迹方程为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{14}=1(x \ge \sqrt{2})$ 。

（简单画了下 $y\ge 0$ 的时候的情况，感觉蛮好玩的）

2. 最值问题

设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ ，$F_1,F_2$ 分别为双曲线的左、右焦点

设 $Q(x_0,y_0)$ 为平面上一定点，并设 $M$ 为双曲线右支上任意一点。（左支同理，这里略去）

1. 若定点 $Q(x_0,y_0)$ 与双曲线的右焦点 $F_2$ 在双曲线右支的同一侧

   则 $|MQ|+|MF_2|$ 的最小值为 $\left|Q F_1\right|-2 a$ ，最大值不存在。

2. 若定点 $Q(x_0,y_0)$ 与双曲线的右焦点 $F_2$ 在双曲线右支的两侧，也就是

   则 $|MQ|+|MF_2|$ 的最小值为 $|QF_2|$ ，最大值不存在。

例：

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，虚轴长为 $2 \sqrt{6}$ ，$F_1,F_2$ 为左右焦点，

则焦点 $F_2$ 到渐进线的距离为_________ 。设点 $B$ 为 $\odot P: x^2-2 x+y^2-4 y+1=0$ 上一点，

动点 $A$ 为双曲线左支上一点，则 $\left|A F_2\right|+|A B|$ 的最小值为________ 。

解：（ 填 $\sqrt{6}$ 和 $2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - 2$ ）

由题意知 $b = \sqrt{3}$ ，因为因为离心率 $e = \frac{c}{a} = \sqrt{3}$ ，所以 $a = \sqrt{3}, c = 3$

故 $F_2(3,0)$ ，点 $F_2$ 到渐近线的距离为 $d = \sqrt{6}$ 。又 $\odot P:(x-1)^2+(y-2)^2=4$ ，点 $A$ 在双曲线的左支上

由双曲线的定义可知 $|AF_2| - |AF_1| = 2\sqrt{3}$ ，则

$$|AF_2| + |AB| = |AF_1| + |AB| + 2\sqrt{3} \ge \left|P F_1\right|-2+2 \sqrt{3}$$

而

$$\left|P F_1\right|-2+2 \sqrt{3}=\sqrt{(1+3)^2+(2-0)^2}- 2 + 2 \sqrt{3}=2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - 2$$

故

$$\left(\left|A F_2\right|+|A B|\right)_{\min} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - 2$$

3. 焦点三角形问题

1. 双曲线上一点 $M$ 与双曲线的两个焦点 $F_1,F_2$ 构成的三角形称为焦点三角形。

2. 在焦点三角形中，常用的关系式有

   $$\begin{aligned} & \left|M F_1\right|-\left|M F_2\right|=\pm 2 a \\[6pt]& S_{\small\triangle F_1M_1 F_2}=\frac{1}{2}\left|M F_1\right|\left|M F_2\right| \sin \angle F_1 M F_2 \\[6pt]& \left|F_1 F_2\right|^2=\left|M F_1\right|^2+\left|M F_2\right|^2-2\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right| \cos \angle F_1 M F_2 \end{aligned}$$

3. 由三角形的边角关系（正、余弦定理）和双曲线的定义等知识，

   可以解决焦点三角形的面积、周长问题，以及有关角、变量的范围等问题。

4. 设 $\angle F_1MF_2 = \vartheta$ ，则 $S_{\triangle M F_1 F_2}=\dfrac{b^2}{\tan \frac{\vartheta}{2}} = b^2 \cdot \dfrac{\sin \vartheta}{1 - \cos \vartheta}$ 。

公式推导：由双曲线的定义及余弦定理得

$$\big|| M F_1|-| M F_2|\big|=2 a \Leftrightarrow\left|M F_1\right|^2+\left|M F_2\right|^2-2\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right|=4 a^2 \\[6pt]\left|M F_1\right|^2+\left|M F_2\right|^2-2\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right| \cdot \cos \theta=\left|F_1 F_2\right|^2=4 c^2$$

下式减上式得 $2\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right| \cdot(1-\cos \vartheta)=4 c^2-4 a^2$ ，

则 $\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right|=\frac{2 b^2}{1-\cos \vartheta}$ ，又 $S_{\triangle M F_1 F_2}=\frac{1}{2}\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right| \cdot \sin \vartheta$ ，

从而 $S_{\triangle M F_1 F_2}=b^2 \cdot \frac{\sin \vartheta}{1-\cos \vartheta}=\frac{b^2}{\tan \frac{\vartheta}{2}}$ 。$\square$

例1：

设 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的两个焦点，

$O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上且 $|O P|=2$ ，求 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积。

解：

由已知，不妨设 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$ ，则 $a=1,c=2$

因为 $|OP| = 2 = \frac{1}{2}|F_1F_2|$ ，所以点 $P$ 在以 $F_1F_2$ 为直径的圆上

即 $\triangle F_1F_2P$ 是以 $P$ 为直角定点的直角三角形，故 $\left|P F_1\right|^2+\left|P F_2\right|^2=\left|F_1 F_2\right|^2$

即 $\left|P F_1\right|^2+\left|P F_2\right|^2=16$ ，又$\big||P F_1|-| P F_2|\big|=2 a=2$ ，所以

$$\begin{aligned} 4&=\big||PF_1|-|PF_2|\big|^2 \\[6pt] &= \left|P F_1\right|^2+\left|P F_2\right|^2-2\left|P F_1\right|\left|P F_2\right| \\[6pt] &=16-2 \left|P F_1\right|\left|PF_2\right| \end{aligned}$$

解得 $|PF_1||PF_2| = 6$ ，所以 $S_{\small\triangle F_1F_2P} = \frac{1}{2}|PF_1||PF_2| = 3$ 。

例2：

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(2 \sqrt{6}, 0)$ ，点 $P$ 的坐标为 $(0,1)$

点 $Q$ 为双曲线 $C$ 左支上的动点且 $\triangle P Q F$ 的周长不小于 $14$ ，求双曲线 $C$ 的离心率的取值范围。

解：

设双曲线 $C$ 的左焦点为 $F’$ ，则 $|QF| - |QF’| = 2a$ ，即 $|QF|=|QF’|+2a$ ，故

$$|Q F|+|P Q|=\left|Q F^{\prime}\right|+|P Q|+2 a \ge |PF'|+2a$$

由题意可得 $|PF|=|PF’|=\sqrt{24+1}=5$ ，所以 $|PQ|+|QF| + |PF| \ge 2|PF| + 2a \ge 14$ ，即 $a \ge 2$ 。

则双曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{6}}{a} \le \sqrt{6}$ 。因为 $e > 1$ ，所以双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为 $(1,\sqrt{6}]$ 。

做了这么多例题，可以发现这些搞来搞去要么三角要么 $PF_1,PF_2$ ，然后套各种技巧。

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七、求解双曲线的标准方程

1. 设双曲线方程的几种办法

1. 若已知双曲线过两点，但不确定焦点的位置，则双曲线方程可设为

   $$mx^2 + ny^2 = 1 ( mn < 0 )$$

2. 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ( a > 0, b > 0)$ 共焦点的双曲线方程可设为

   $$\frac{x^2}{a^2+\lambda}-\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1\left(\lambda \neq 0,-a^2<\lambda<b^2\right)$$

3. 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 共焦点的双曲线方程可设为

   $$\frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1\left(b^2<\lambda<a^2\right)$$

4. 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 具有相同渐近线的双曲线的方程可设为

   $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda~ (\lambda \neq 0)$$

   注意到 $\lambda$ 增大和减小的过程只是在改变 $a,b,c$ 的大小，而没有改变 $e$ 。

5. 若渐近线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ 或 $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ 或 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 的形式，则双曲线方程可设为（同上）

   $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda~ (\lambda \neq 0)$$

2. 求双曲线方程中参数的值或取值范围

1. 根据方程 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m n \neq 0)$ ，并不能确定它所表示的曲线是椭圆还是双曲线

   我们需要对参数 $m, n$ 的范围进行讨论：

   1. 若 $m>0, n>0(m \neq n)$ ，则方程表示椭圆，且
      • 当 $m>n>0$ 时，椭圆的焦点在 $x$ 轴上
      • 当 $n>m>0$ 时，椭圆的焦点在 $y$ 轴上
   2. 若 $m n<0$ ，则方程表示双曲线，且
      • 当 $\left\{\begin{array}{l}m>0\\ n<0\end{array}\right.$ 时，双曲线的焦点在 $x$ 轴上
      • 当 $\left\{\begin{array}{l}m<0, \\ n>0\end{array}\right.$ 时，双曲线的焦点在 $y$ 轴上

2. 在解题时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定 $a^2, b^2$ 的值

   然后求解，有必要时，要注意分焦点在 $x$ 轴和 $y$ 轴上进行分类讨论，不要漏解。

3. 求解此类问题往往借助方程和不等式的解法来处理。

   因对方程的解和不等式解集的求法要比较熟练，防止出错。

例1：

求满足下列条件的双曲线的标准方程

1. 虚轴长为 $12$ ，离心率为 $\frac{5}{4}$
2. 顶点间的距离为 $6$ ，渐近线方程为 $y=\pm \frac{3}{2} x$
3. 与双曲线 $x^2-2 y^2=2$ 有公共渐近线，且过点 $M(2,-2)$

解：

1. 设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ ，其中 $a > 0, b > 0$

   由题知 $b=6,\frac{a^2+b^2}{a^2} = \frac{25}{16}$ ，解得 $a = 8, b = 6, c = 10$ ，故标准方程为 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ 或 $\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1$

2. 【方法一】

   当焦点在 $x$ 轴上时，由 $\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ 且 $a = 3$ 得 $b = \frac{9}{2}$ ，则所求方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{\frac{81}{4}}=1$ 。

   当焦点在 $y$ 轴上时，由 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ 且 $a = 3$ 得 $b = 2$ ，则所求方程为 $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$ 。

   【方法二】

   设以 $y = \pm \frac{3}{2} x$ 为渐近线的双曲线的方程为 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = \lambda ( \lambda \ne 0)$ ，讨论焦点位置：

   • 当 $\lambda > 0$ 时， $a^2 = 4 \lambda$ ，所以 $2a = 2 \sqrt{4 \lambda} = 6$ ，解得 $\lambda = \frac{9}{4}$ 。
   • 当 $\lambda < 0$ 时，$a^2 = -9\lambda$ ，所以 $2a = 2 \sqrt{-9 \lambda} = 6$ ，解得 $\lambda = -1$ 。

   所以双曲线的方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{\frac{81}{4}}=1$ 或 $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$ 。

3. 易得渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，考虑设方程为 $\frac{x^2}{2}-y^2=\lambda$ 。

   因为过点 $M(2,-2)$ ，代入解得 $\lambda = -2$ ，所以方程为 $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{4}=1$ 。

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八、双曲线几何性质的应用

记焦半径为 $r_1 = |PF_1|, r_2 = |PF_2|$ ，其中 $F_1,F_2$ 为焦点，$P(x_0,y_0)$ 为圆锥曲线上一点。

不妨记 $\angle F_2 P F_1=\vartheta,\angle P F_1 F_2=\alpha,\angle P F_2 F_1=\beta$ ，对比椭圆与双曲线可得下表：

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \texttt{椭圆} & \texttt{双曲线} \\[6pt] \hline \begin{array}{l} r_1=a+e x_0 \\[3pt]r_2=a-e x_0 \end{array} & \begin{array}{l} \begin{array}{l} \text{Left}\, \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} r_1=-(a+ex_0) \\[3pt]r_2=-(-a+e x_0) \end{array}\right.\\ \text{Right}\, \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} r_1=a+ex_0 \\[3pt]r_2=-a+ex_0 \end{array}\right. \end{array} \end{array} \\[6pt] \hline r_1,r_2\in[a-c, a+c] & r_1,r_2 \in [c-a, +\infty) \\[6pt] \hline \begin{array}{l} 1+\cos \vartheta=\frac{2 b^2}{r_1 r_2} \\[6pt]S_{\triangle P F_1 F_2}=b^2 \tan \frac{\vartheta}{2}=c\left|y_0\right| \end{array} & \begin{array}{l} 1-\cos \theta=\frac{2 b^2}{r_1 r_2} \\[6pt]S_{\triangle P F_1 F_2}=b^2 \cot \frac{\vartheta}{2}=c\left|y_0\right| \end{array} \\[6pt] \hline e=\dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin \alpha+\sin \beta} & e=\dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{|\sin \alpha-\sin \beta|} \\[6pt] \hline \end{array}$$

接下来我们来讨论一种双曲线特有的特征三角形（也就是 $a,b,c$ 的三角形）。

如图所示的三角形 $\triangle MOF_2$ 也称为特征三角形。

焦点 $F_2(c,0)$ 到渐近线的距离 $|MF_2| = \dfrac{|b c \pm a \cdot 0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{b c}{c}=b$

即双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长，而且在 $\triangle MOF_2$ 中，很容易得到 $\cos \vartheta = \dfrac{1}{e}$

则若知道两条渐近线的夹角，我们可以很容易求出双曲线的离心率。

对于椭圆，由于 $\cos \vartheta = e$ ，因此 $e$ 越大，$\vartheta$ 越小，从而椭圆就越偏，相反就越圆。

而对于双曲线，考虑到 $e = \dfrac{1}{\cos \vartheta}$ ，则 $e$ 越大，$\vartheta$ 越大。

从而渐近线张口越大，双曲线的开口就越大。

共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与圆双曲线就是一对共轭双曲线。

例如，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1(a > 0, b > 0)$ 与 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2} = 1(a > 0, b > 0)$ 是一对共轭双曲线

其性质如下：

1. 两个共轭双曲线有着相同的渐近线

2. 两个共轭双曲线有着相同的焦距

3. 由于 $e_1 = \frac{c}{a}, e_2 = \frac{c}{b}$ ，则 $\frac{1}{e_1^2}+\frac{1}{e_2^2}=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1$

   故共轭双曲线的离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数 $1$ 。

例1：

已知双曲线两渐近线的夹角为 $60^{\circ}$ ，则双曲线的离心率为________ 。

解：（两种方法）

1. 由题意知，双曲线的渐进线存在两种情况，当双曲线的焦点在 $x$ 轴上时

   • 若其中一条渐近线的倾斜角为 $60^{\circ}$ 。
   • 若其中一条渐近线的倾斜角为 $30^{\circ}$ 。

   所以双曲线的一条渐近线的斜率 $k=\sqrt{3}$ 或 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，即 $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

   又 $b^2=c^2-a^2$ ，以 $\frac{c^2-a^2}{a^2}=3$ 或 $\frac{1}{3}$ ，所以 $e^2=4$ 或 $\frac{4}{3}$ ，所以 $e=2$ 或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

   同理，当双曲线的焦点在 $y$ 轴上时，则有 $\frac{a}{b} = \sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，所以 $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3}$ ，亦可得 $e = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $2$ 。

2. 根据方法一得到：

   • 当双曲线的焦点在 $x$ 轴上时，渐近线的倾斜角 $\vartheta$ 为 $30^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$ 。

     则离心率 $e = \frac{1}{\cos \vartheta} = 2$ 或 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 。

   • 当双曲线的焦点在 $y$ 轴上时，渐近线的倾斜角 $\vartheta$ 为 $30^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$

     则离心率 $e = \frac{1}{\cos \vartheta} = 2$ 或 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 。

   综上可得双曲线的离心率为 $2$ 或 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 。

例2：

（多选）若双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 长为 $6$ ，焦距为 $10$ ，右焦点为 $F$ ，则下列结论正确的是

A. 双曲线 $C$ 的渐近线上的点到点 $F$ 距离的最小值为 $4$

B. 双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$

C. 双曲线 $C$ 上的点到点 $F$ 的距离的最小值为 $2$

D. 过点 $F$ 的最短弦长为 $\frac{32}{3}$

解：

由题意知 $2a = 6, 2c = 10$ ，即 $a = 3, c =5$ ，因为 $b^2 = c^2 - a^2 = 16$ ，解得 $b = 4$

所以右焦点为 $F(5,0)$ ，双曲线的渐进方程为 $y = \pm\frac{4}{3}x$ 。对于选项 A ，由点 $F$ 向双曲线 $C$ 的渐近线作垂线时

垂线段的长度即为 $C$ 的渐近线上给定点到点 $F$ 距离的最小值，由点到直线的距离公式可得 $d=\frac{\left|\pm \frac{4}{3} \times 5-0\right|}{\sqrt{1^2+\left(\pm \frac{4}{3}\right)^2}}=4$

因此选项 A 正确。对于选项 B ，因为 $a = 3,c=5$ ，所以双曲线 $C$ 的离心率为 $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ ，故 B 错误。

对于选项 C ，当双曲线 $C$ 上的点为其右顶点 $(3,0)$ 时取到最小值，故 C 正确。

对于选项 D ，当直线为过点 $F$ 且斜率为 $0$ 时取到最小值。

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九、点和直线 与 双曲线 的位置关系

不失一般性，我们考虑焦点在 $x$ 轴上的情况。

1. 点与双曲线的位置关系及其判断方法

把点 $P(x_0,y_0)$ 代入双曲线方程中，则

• 若 $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} > 1$ ，则点 $P$ 在双曲线内部，即包含焦点的部分（注意这里和其他的有区别）。
• 若 $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ ，则点 $P$ 在双曲线上。
• 若 $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} < 1$，则点 $P$ 在双曲线外部，即两支之间的部分。

例题：

若无论 $k$ 为何值，直线 $y=k(x-2)+b$ 与曲线 $x^2-y^2=1$ 总有公共点，求 $b$ 的取值范围。

解：

易知直线 $y = k(x-2) + b$ 恒过定点 $(2,b)$ 。

因为直线 $y = k(x-2) + b$ 与曲线 $x^2-y^2=1$ 总有公共点，则 $(2,b)$ 必在双曲线上或内

则有 $2^2 - b^2 \ge 1$ ，解得 $-\sqrt{3} \le b \le \sqrt{3}$ 。

2. 直线与双曲线位置关系的判断方法

1. 方程思想的应用：

   这个我们在前面讲过了，这里就简单归纳一下。

   依旧是常见的联立方程+代入消元，一般是得到一个有关 $x$ 的方程。

   当二次项系数为 $0$ 时，直线与双曲线的渐近线平行（或重合），则直线与双曲线只有 $0\sim 1$ 个公共点。

   当二次项系数不为 $0$ 时，也就是这个方程是个二次方程时：

   • 若 $\Delta > 0$ ，则直线与双曲线有两个公共点。
   • 若 $\Delta = 0$ ，则直线与双曲线只有一个公共点。
   • 若 $\Delta < 0$ ，则直线与双曲线没有公共点。

   同时需要注意韦达定理的使用以及交于两支还是已知的问题。

   也就是，若 $|k| > \frac{b}{a}$ ，则交在同一支上（或无交）；若 $|k|<\frac{b}{a}$ ，则交在两支上

2. 数形结合思想的应用

   1. 直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线斜率的大小关系确定其位置关系
   2. 直线斜率一定时，通过平移直线，比较斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系。

例1：

斜率为 $2$ 的直线 $l$ 过双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a > 0, b > 0)$ 的右焦点

且与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率 $e$ 的取值范围。

解：

易得 $2 < \frac{b}{a}$ ，又因为 $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ ，所以 $e \in (\sqrt{5}, +\infty)$ 。

例2：

直线 $l : y = kx + 1$ 与双曲线 $C:2x^2 - y^2 = 1$ 的右支交于不同两点 $A,B$ ，求实数 $k$ 的取值范围。

解：

将直线 $l$ 的方程代入双曲线 $C$ 的方程 $2x^2 - y^2 = 1$ 后，整理得 $\left(k^2-2\right) x^2+2 k x+2=0$ 。

因为直线与双曲线 $C:2x^2 - y^2 = 1$ 的右支交于不同两点 $A,B$ ，所以（不懂 3,4 可以看右图）

$$\left\{\begin{array}{l} k^2-2 \neq 0 \\[6pt]\Delta=(2 k)^2-8\left(k^2-2\right)>0 \\[6pt]x_1 + x_2 = -\frac{2 k}{k^2-2}>0 \\[6pt]x_1 x_2 =\frac{2}{k^2-2}>0 \end{array}\right.$$

解得 $-2 < k < -\sqrt{2}$ ，故 $k$ 的取值范围为 $(-2,-\sqrt{2})$ 。

3. 弦长问题的求解

1. 弦长公式：经典、通用：

   $$d = \sqrt{1 + k^2}|x_1 - x_2| = \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right|$$

2. 解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上。

3. 处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中

   并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此最后要代回去检验

4. 双曲线的通径

   过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径。

   无论焦点在 $x$ 轴上还是在 $y$ 轴上，双曲线的通径总等于 $\dfrac{2b^2}{a}$ 。（很好，和椭圆的结论一样）

   特别地，若焦点弦于双曲线的焦点在同一支上，则最短弦长是通径长 $\frac{2b^2}{a}$ 。

   否则若在两支上，则最短弦长为实轴长 $2a$ 。

4. “设而不求”法解决中点弦问题

又来了，熟悉的中点弦问题。现在看到弦就头疼

1. 过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在。

   但在双曲线问题中，则不能确定，需要注意检验。

2. 在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系，如 $OA \perp OB,A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

   化为 $\frac{y_1}{x_1} \cdot \frac{y_2}{x_2}=-1$ ，即 $x_1 x_2+y_1 y_2=0$ 。$OA \perp OB$ 与 $x_1 x_2+y_1 y_2=0$ 是等价关系。

   这么做的好处在于可以利用直线方程将 $y_1y_2$ 转化为 $x_1+x_2,x_1x_2$ 以使用韦达定理。

例题：

求过定点 $(0,1)$ 的直线被双曲线 $x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$ 截得的弦中点的轨迹方程。

解：

因为该直线斜率不存在时直线与双曲线无焦点，所以可设直线的方程为 $y = kx + 1$

它被双曲线截得的弦 $AB$ 对应的中点为 $P(x,y)$ ，联立方程得 $\left(4-k^2\right) x^2-2 k x-5=0$

设此方程的两实根为 $x_1,x_2$ ，则 $4-k^2 \ne 0,\Delta = 4k^2 + 20(4 - k^2) > 0$

所以 $16k^2 < 80$ ，即 $|k| < \sqrt{5},k \ne \pm 2$ 又 $x_1 + x_2 = \frac{2 k}{4-k^2},x_1x_2 = -\frac{5}{4 - k^2}$ ，所以

$$x = \frac{1}{2}(x_1 + x_2) = \frac{k}{4-k^2} \\[6pt] y = \frac{1}{2} (y_1+y_2) = \frac{k}{2}(x_1+x_2) + 1 = \frac{4}{4 - k^2}$$

由 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{k}{4-k^2} \\y=\frac{4}{4-k^2}\end{array}\right.$ 消去 $k$ 得 $4 x^2-y^2+y=0(y < -4 \lor y \ge 1)$ 。

5. 双曲线中的对称问题

1. 主要讨论的对象是双曲线上存在关于某条直线对称的两个点的问题

2. 解决这类问题要充分运用“垂直平分”这两个特征，此外还要注意点差法的运用。

   如：设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$ ，直线 $l$ 的方程为 $y = kx + m$

   若双曲线上存在两点 $P,Q$ 关于直线 $l$ 对称，则 $PQ$ 的方程可设为 $y = -\frac{1}{k}x + n$

   代入双曲线方程之后得到关于 $x$ 的一元二次方程，且 $\Delta > 0$ 成立，从而求得 $k$ 的范围。

   其实也可以用“设而不求”的方法。设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 是双曲线上关于直线 $l$ 对称的两点

   则利用点差法可得 $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}-\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0$ ，因此（设 $PQ$ 中点为 $(x_0,y_0)$，也是 $l$ 与 $PQ$ 的交点 ）

   $$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{b^2\left(x_1+x_2\right)}{a^2\left(y_1+y_2\right)}=\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}=k_{P Q}$$

例题：

已知双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ ，双曲线上存在关于直线 $l : y = kx + 4$ 对称的两点 $A,B$ ，求实数 $k$ 的取值范围。

解：

当 $k =0$ 时显然不成立，所以 $k\ne 0$ 。有 $l \perp AB$ ，可设直线 $AB$ 的方程为 $y = -\frac{1}{k}x + b$ ，

代入 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 中，得 $\left(3 k^2-1\right) x^2+2 k b x-\left(b^2+3\right) k^2=0$ ，显然 $(3k^2-1) \ne 0$ ，且

$$\Delta=(2 k b)^2-4\left(3 k^2-1\right)\left[-(b^2+3) k^2\right]>0$$

即 $k^2 b^2+3 k^2-1>0$ ①

由根与系数的关系，得中点 $M(x_0,y_0)$ 的坐标为 $\left\{\begin{array}{l}x_0=\frac{-k b}{3 k^2-1} \\y_0=\frac{3 k^2 b}{3 k^2-1}\end{array}\right.$ 。

因为点 $M$ 在直线 $l$ 上，所以 $\frac{3 k^2 b}{3 k^2-1}=\frac{-k^2 b}{3 k^2-1}+4$ ，即 $k^2 b=3 k^2-1$ ②

把②代入①得 $k^2 b^2+k^2 b>0$ ，解得 $b > 0$ 或 $b < -1$ 。

所以 $\frac{3 k^2-1}{k^2}>0$ 或 $\frac{3 k^2-1}{k^2}<-1$ ，即 $|k|>\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $|k|<\frac{1}{2}$ ，且 $k \ne 0$ 。

故，综上，$k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right)$ 。