数学咕咕

发布日期: 2022-12-06

更新日期: 2023-06-09

文章字数: 7.9k

椭圆方程

一、椭圆的定义

平面内与两个定点 \(F_1,F_2\) 的距离的和等于常数（大于 \(|F_1F_2|\) ）的点的轨迹叫作椭圆。

这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离，即 \(|F_1F_2|\) 叫作椭圆的焦距。

特别地，当距离的和为 \(|F_1F_2|\) 时，轨迹不是椭圆，而是线段 \(F_1F_2\) 。

二、椭圆的标准方程

下面的建系方式运算较为方便，所以一般椭圆都采用这种方式建系。

设焦点 \(F_1(-c,0),F_2(c,0)\) ，此时焦点在 \(x\) 轴上，则椭圆的标准方程为 \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0, ~b = c^2) \] 设焦点 \(F_1(0,-c),F_2(0,c)\) ，此时焦点在 \(y\) 轴上，则椭圆的标准方程为 \[ \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0, ~b = c^2) \]

这里不仅是令 \(b^2 = a^2 - c^2\) ，\(b\) 其实拥有几何意义，如下图所示：

例题：

求适合下列条件的椭圆的标准方桯。

椭圆的两个焦点的坐标分别是 \((-4,0),(4,0)\) ，椭圆上一点 \(P\) 到两焦点距离的和等于 \(10\) 。
椭圆的焦距为 \(6,~ a-b=1\)
椭圆过点 \((3,2),(5,1)\) 。

解：

椭圆的焦点在 \(x\) 轴上，故设椭圆的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y ^ 2}{b ^ 2} = 1(a > b > 0)\) 。

因为 \(2a = 10,c=4\) ，所以 \(b^2 = a ^2 - c^2 = 9\) 。

所以椭圆的标准方程为 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) 。
因为椭圆的焦距为 \(6\) ，即 \(c = 3\) ，所以 \(a ^ 2 - b ^ 2 = c ^ 2 = 9\) 。

又因为 \(a - b = 1\) ，所以 \(a = 5, b = 4\) 。

所以椭圆的标准方程为 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) 或 \(\frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{16} = 1\) 。
由题意可设椭圆的一般方程为 \(Ax^2 + By^2 = 1 ( A > 0, B > 0, A \ne B)\) 。

则 \(\left\{\begin{array}{l}9A + 4B = 1\\25A + B = 1\end{array}\right.\) ，解得 \(\left\{\begin{array}{l}A=\frac{3}{91} \\B=\frac{16}{91}\end{array}\right.\) 。

故所求的椭圆标准方程为 \(\frac{x^2}{\frac{91}{3}}+\frac{y^2}{\frac{91}{16}}=1\) 。

三、椭圆的一般方程及共焦点的椭圆系方程

椭圆的一般方程：\(Ax^2 + By^2 = 1 (A > 0, B > 0, A \ne B)\)
- 当 \(\frac{1}{A} > \frac{1}{B}\) ，即 \(B>A\) 时，表示焦点在 \(x\) 轴上的椭圆。
- 当 \(\frac{1}{A}<\frac{1}{B}\) ，即 \(B<A\) 时，表示焦点在 \(y\) 轴上的椭圆。
共焦点的椭圆系方程

与椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 有公共焦点的椭圆方程为： \[ \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2 - \lambda} + \frac{y^2}{b^2 - \lambda} = 1 && \lambda < (a^2 \downarrow b^2) \end{aligned} \] 与椭圆 \(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 有公共焦点的椭圆方程为： \[ \begin{aligned} \frac{y^2}{a^2 - \lambda} + \frac{x^2}{b^2 - \lambda} = 1 && \lambda < (a \downarrow b) \end{aligned} \]

四、动点轨迹方程的求法

直接法：

考虑将动点满足的关系式用 \(x,y\) 的等式表达出来，我们就求出了轨迹方程。
定义法

若已知曲线的定义（比如说了是圆），可先设方程，再确定其中的基本量
代入法：

也就是主动点和被动点的那种类型，我们可以找到被动点与主动点的关系，然后代入主动点方程。
待定系数法：

根据条件能知道曲线方程的类型，可以设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数。

例题1：

已知直角坐标平面上点 \(Q(2,0)\) 和圆 \(O: x^2+y^2=1\)

动点 \(M\) 到圆 \(O\) 的切线长与 \(|M Q|\) 的比等于常数 \(\lambda(\lambda>0)\)

求动点 \(M\) 的轨迹方程，并指出其表示什么曲线。

解：

考虑把切线长用 \(|MO|\) 表示出来，然后利用关系式解出轨迹方程

设 \(MN\) 切圆 \(O\) 于点 \(N\) ，则动点 \(M\) 组成的集合为 \(\mathfrak{P} = \left\{M \mid |MN| = \lambda |MQ|\right\}\)

因为圆的半径 \(|ON| = 1\) ，所以 \(|MN| ^ 2 = |MO| ^ 2 - |ON| ^ 2 = |MO|^2 - 1\)

设点 \(M\) 的坐标为 \((x,y)\) ，则 \(\sqrt{x^2+y^2-1}=\lambda \sqrt{(x-2)^2+y^2}\)

整理得轨迹方程为 \(\left(\lambda^2-1\right)\left(x^2+y^2\right)-4 \lambda^2 x+\left(1+4 \lambda^2\right)=0\)

当 \(\lambda = 1\) 时，方程化为 \(x = \frac{5}{4}\) ，则该曲线表示的是一条直线，且垂直与 \(x\) 轴并与其交于 \((\frac{5}{4},0)\) 。

当 \(\lambda \ne 1\) 时，方程化为 \(\left(x-\frac{2 \lambda^2}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2=\frac{1+3 \lambda^2}{\left(\lambda^2-1\right)^2}\) ，则该曲线表示圆。

该圆的圆心坐标为 \(\left(\frac{2 \lambda^2}{\lambda^2-1}, 0\right)\) ，半径为 \(\frac{\sqrt{1+3 \lambda^2}}{\left|\lambda^2-1\right|}\) 。

例题2：

在平面内，\(A,B\) 为两个定点，\(C\) 是动点，若 \(\overrightarrow{AC}\ \cdot\ \overrightarrow{BC} = 1\) ，求点 \(C\) 的轨迹方程。

解：

设 \(|AB| = 2a ( a > 0 )\) ，以 \(AB\) 中点为原点，直线 \(AB\) 为 \(x\) 轴，建立平面直角坐标系。

则 \(A(-a,0), B(a,0)\) 设 \(C(x,y)\) ，可得 \(\overrightarrow{AC} = (x + a,y),\overrightarrow{BC} = (x - a, y)\)

从而 \(\overrightarrow{AC} \ \cdot \ \overrightarrow{BC} = (x + a)(x - a) + y ^ 2\) ，结合题意可得 \((x + a)(x - a) + y ^ 2 = 1\)

整理可得 \(x^2 + y^2 = a^2 + 1\) ，即点 \(C\) 的轨迹是以 \(AB\) 中点为圆心，\(\sqrt{a ^ 2 + 1}\) 为半径的圆。

五、椭圆的焦点三角形及其求解方法

这算是个综合性较强的“小知识点”吧。设 \(M\) 是椭圆上一点， \(F_1,F_2\) 为椭圆的焦点，

当点 \(M,F_1,F_2\) 不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形

焦点三角形的常用公式：

焦点三角形的周长为 \(L = 2a + 2c\) 。
在 \(\triangle MF_1F_2\) 中，由余弦定理得 \(|F_1F_2|^2 = |MF_1|^2 + |MF_2|^2 - 2|MF_1|\cdot|MF_2| \cos \measuredangle F_1MF_2\)
设 \(M(x_0,y_0),\measuredangle F_1MF_2 = \varphi\) ，则 \(S_{\triangle F_1MF_2} = c|y_0| = b^2 \tan \frac{\varphi}{2}\) 。
当点 \(M\) 在 \(y\) 轴上时， \(\measuredangle F_1MF_2\) 最大（因为此时 \(|y_0|\) 最大，则 \(\varphi\) 最大）。

关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出 \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\) ，利用这个关系式便可求出结果。

在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦&余弦定理、勾股定理等

以及配方法、解方程以及把 \(|PF_1| \cdot |PF_2|\) 看成一个整体等方法。

例1：

已知椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) ，若点 \(P\) 为椭圆上一点，且 \(\measuredangle PF_1F_2 = 120^{\circ}\) ，求 \(\triangle PF_1F_2\) 的面积。

解：

由题意可知 \(a = 2, b = \sqrt{3}\) ，则 \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = 1,|F_1F_2| = 2c = 2\) 。

在 \(\triangle PF_1F_2\) ，由余弦定理，得 \(\left|P F_2\right|^2=\left|P F_1\right|^2+\left|F_1 F_2\right|^2-2\left|P F_1\right|\left|F_1 F_2\right| \cdot \cos 120^{\circ}\)

即 \(|PF_2|^2 = |PF_1|^2 + 4 + 2|PF_1|\) ①。由椭圆定义，得 \(|PF_1|+|PF_2| = 4 \Rightarrow |PF_2| = 4 - |PF_1|\) ②。

将 ② 代入 ① ，解得 \(|PF_1| = \frac{6}{5}\) ，则 \[ S_{\triangle P F_1 F_2}=\frac{1}{2}\left|P F_1\right| \cdot\left|F_1 F_2\right| \cdot \sin 120^{\circ}=\frac{1}{2} \times \frac{6}{5} \times2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{5} \] 即 \(\triangle P F_1 F_2\) 的面积为 \(\frac{3 \sqrt{3}}{5}\) 。

例2：

设 \(F_1, F_2\) 为椭圆 \(\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1\) 的两个焦点， \(P\) 为椭圆上任一点

已知 \(P, F_1, F_2\) 是一个直角三角形的三个顶点，且 \(\left|P F_1\right|>\left|P F_2\right|\) ，求 \(\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}\) 的值。

解：

因为椭圆方程为 \(\frac{y^2}{9} + \frac{x^2}{4} = 1\) ，所以 \(a^2 = 9, b^2 = 4,c^2=5\) 。所以 \(|F_1F_2| = 2 \sqrt{5}, |PF_1|+|PF_2| = 6\) 。

由题意知 \(|PF_1| > |PF_2|\) ，所以 \(\measuredangle PF_1F_2\) 不可能为直角。（最大角在短轴顶点处取到）

若 \(\measuredangle PF_2F_1\) 为直角，则 \(|PF_1|^2=|PF_2|^2 + |F_1F_2|^2\) ，即 \(|PF_1|^2 = (6 - |PF_1|) ^ 2 + 20\) ，解得 \(|PF_1| = \frac{14}{3}\) 。

则 \(|PF_2| = \frac{4}{3}\) ，故 \(\frac{|PF_1|}{|PF_2|} = \frac{7}{2}\) 。

六、椭圆的简单几何性质

本来是分成几个章节的，结果发现这玩意太水了没必要。

椭圆的范围： \(-a \le x \le a, -b \le y \le b\) ，从图像就能看出。
椭圆的对称性：\(x\) 或 \(y\) 或 \(x,y\) 变为其相反数，方程不变，曲线变。
椭圆的顶点：与坐标轴的四个交点。
椭圆的长轴和短轴性质：长轴 \(2a\) ，短轴 \(2b\) 。
椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，通径长为 \(\dfrac{2b^2}{a}\) 。
椭圆上到中心点距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点。
「短轴顶点与焦点的连线」与长轴的夹角 \(\varphi\) 有 \(e = \cos \varphi\) 。因为正好是 \(\frac{c}{a}\) 。
椭圆的焦半径：

椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径。

焦半径公式：

设椭圆焦点 \(F_1,F_2\) ，其中 \(F_1\) 更靠左(上)，椭圆上一点 \(P\) 。
- 当焦点在 \(x\) 轴上时，\(|PF_1| = a + ex_0, |PF_2| = a - ex_0\) 。
- 当焦点在 \(y\) 轴上时，\(|PF_1|=a+ey_0,|PF_2|= a- ey_0\) 。
焦半径的最值：

当点 \(P\) 在长轴顶点时，焦半径取得最大值 \(a + c\) 或 \(a - c\) ，从图像易得。

焦半径公式的推导：

不失一般性，我们推导当焦点在 \(x\) 轴上时的情况。 \[ \begin{aligned} \left|P F_2\right| & =\sqrt{\left(x_0-c\right)^2+y_0^2}=\sqrt{x_0^2-2 c x_0+c^2+y_0^2}=\sqrt{x_0^2-2 c x_0+c^2+b^2-\frac{b^2}{a^2} x_0^2} \\ & =\sqrt{\frac{c^2}{a^2} x_0^2-2 c x_0+a^2}=\sqrt{\left(a-\frac{c}{a} x_0\right)^2}=a-\frac{c}{a} x_0=a-e x_0 \end{aligned} \] 则 \(|PF_1| = 2a - |PF_2| = a + ex_0\) 。\(\square\)

七、椭圆的离心率

离心率定义：椭圆的焦距与长轴的长的比 \(\frac{c}{a}\) 称为椭圆的离心率，用 \(e\) 表示，显然 \(0 < e < 1\) 。

当 \(e\) 接近 \(0\) 时，\(b = \sqrt{a ^ 2 - c ^ 2}\) 越大，从而椭圆越“圆”
当 \(e\) 接近 \(1\) 时，\(b = \sqrt{a ^ 2 - c^2}\) 越小，从而椭圆越“扁”。
当且仅当 \(a=b\) 时，\(c=0\) ，此时两焦点重合，图形变为圆，其方程为 \(x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2\) 。

若给定椭圆的方程，则直接求 \(a,c\) 即可，否则考虑已知关系式并化为 \(a,c\) 的齐次方程或 \(e\) 的方程。

离心率 \(e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2} \Rightarrow \frac{b}{a} = \sqrt{1 - e^2}\) ，所以给出离心率实际上是给出了 \(a,b\) 的比值。

另一方面，\(e = \frac{c}{a} = \frac{2c}{2a}\) ，而 \(2c = |F_1F_2|,2a=|PF_1|+|PF_2|\) ，因而可以转化到 \(\triangle PF_1F_2\) 中

并考虑将解析几何问题与三角函数联系起来，用三角函数的知识解决几何问题。

例1：

椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的两焦点为 \(F_1, F_2\)

以 \(F_1 F_2\) 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，求椭圆的离心率。

解：

方法一：

因为 \(\triangle DF_1F_2\) 为正三角形， \(N\) 为 \(DF_2\) 的中点，所以 \(F_1N \perp F_2N\) 。

因为 \(|NF_2| = c\) ，所以 \(|NF_1| = \sqrt{|F_1F_2| ^ 2 - |NF_2| ^ 2} = \sqrt{4c^2 - c^2} = \sqrt{3}\ c\) 。

由椭圆定义可知 \(|NF_1| + |NF_2| = 2a\) ，则 \((\sqrt{3}+1)c = 2a\) ，故 \(e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1\) 。
方法二：

注意到 \(\triangle NF_1F_2\) 中，\(\measuredangle NF_1F_2 = 30^{\circ},\measuredangle NF_2F_1 = 60^{\circ},\measuredangle F_1NF_2 = 90^{\circ}\)

则由离心率的三角形式，可得 \[ \begin{aligned} e &= \frac{\sin \measuredangle F_1NF_2}{\sin \measuredangle NF_1F_2 + \sin \measuredangle NF_2F_1} \\[6pt]&= \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ}} \\[6pt]&= \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} - 1 \end{aligned} \]

例2：

已知 \(F_1, F_2\) 为椭圆 \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的左、右焦点，\(B\) 为 \(E\) 的短轴端点

\(B F_2\) 的延长线交 \(E\) 于点 \(M\) ， \(M\) 关于 \(x\) 轴的对称点为 \(N\) ，若 \(M F_2 \perp N F_1\) ，求 \(E\) 的离心率。

解：

根据题意，设 \(F_1(-c,0),F_2(c,0),B(0,b)\) ，则直线 \(BF_2\) 的方程为 \(\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1\) （截距式方程）。

代入 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 得 \((a^2 + c^2)x^2 - 2ca^2x = 0\) ，解得 \(x = 0\) 或 \(x = \frac{2ca^2}{a ^ 2 + c ^ 2}\) 。

当 \(x = \frac{2ca^2}{a ^ 2 + c ^ 2}\) 时，\(y = b\left(1-\frac{x}{c}\right)=-\frac{b^3}{a^2+c^2}\) ，所以 \(M\left(\frac{2 c a^2}{a^2+c^2}, \frac{-b^3}{a^2+c^2}\right),N\left(\frac{2 c a^2}{a^2+c^2}, \frac{b^3}{a^2+c^2}\right)\) 。

所以 \(\large k_{N F_1}=\frac{\frac{b^3}{a^2+c^2}}{\frac{2 c a^2}{a^2+c^2}+c}=\frac{b^3}{3 a^2 c+c^3}\) ① 。又因为 \(MF_2 \perp NF_1,k_{MF_2} = -\frac{b}{c}\) ，所以 \(k_{NF_1} = \frac{c}{b}\) ② 。

联立①②得 \(b^4=3 a^2 c^2+c^4\) ，又 \(b ^ 2 = a^2 - c^2\) ，代入解得 \(\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{5}\) ，即 \(e = \frac{\sqrt{5}}{5}\) 。

八、椭圆的第二定义

说是第二定义，其实就是圆锥曲线的定义。这个有空我可能会写一写。

平面内，若点 \(M\) 与定点 \(F(c,0)\) 的距离与它到定直线 \(l : x = \frac{a^2}{c}\) 的距离的比是常数 \(e = \frac{c}{a}(a > b > 0)\)

则动点 \(M\) 的轨迹为椭圆。定直线 \(l\) 也叫作椭圆的准线。如下图所示：（还有条准线我懒得画）

第一个曲线的准线方程为 \(x = \pm \dfrac{a^2}{c}\) ，第二个曲线的准线方程为 \(y = \pm \dfrac{a^2}{c}\) 。

准线的性质：

准线垂直于焦点所在直线且在两顶点的外侧。
两准线之间的距离为 \(\dfrac{2a^2}{c}\) 。
焦点到相应准线的距离为 \(\dfrac{a^2}{c} - c = \dfrac{b^2}{c}\) （焦准距）

准线方程的推导：

不失一般性，我们来推导第一个曲线的准线方程 \[ \frac{\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{c}{a} \quad( a > c > 0 ) \] 可得 \[ \begin{aligned} & a>0, && 0<c<a, && x=-a, && y=0 \\[10pt]& a>0, && 0<c<a, &&-a<x<a, && y=-\sqrt{\frac{\left(a^2-c^2\right)\left(a^2-x^2\right)}{a^2}} \\[10pt]& a>0, && 0<c<a, &&-a<x<a, && y=\sqrt{\frac{\left(a^2-c^2\right)\left(a^2-x^2\right)}{a^2}} \\[10pt]& a>0, && 0<c<a, && x=a, && y=0 \end{aligned} \] 容易发现其符合第一定义 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1\) 。\(\square\)

九、椭圆进阶例题

例1：

已知椭圆 \(x^2 + (m + 3)y^2 = m ( m > 0)\) 的离心率 \(e = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

求 \(m\) 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、定点坐标。

解：

椭圆方程可化为 \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{\frac{m}{m+3}}=1\) 。因为 \(m-\frac{m}{m+3}=\frac{m(m+2)}{m+3}>0\) ，所以 \(m > \frac{m}{m+3}\) 。

故 \(a^2 = m, b^2 = \frac{m}{m + 3}, c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{\frac{m(m+2)}{m+3}}\) 。

由 \(e = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ，得 \(\sqrt{\frac{m + 2}{m + 3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ，解得 \(m = 1\) 。

则椭圆的标准方程为 \(x^2 + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1\) ，且 \(a = 1, b = \frac{1}{2}, c = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 。

所以椭圆的长轴长为 \(2\) ，短轴长为 \(1\) ，两焦点坐标分别为 \(F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\)

四个顶点坐标分别为 \(A_1(-1,0), A_2(1,0),B_1(0,-\frac{1}{2}), B_2(0,\frac{1}{2})\) 。

例2：

（多选）已知 \(F\) 是椭圆 \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 的右焦点，椭圆上至少有 \(21\) 个不同的点 \(P_i~(i \in \mathbb{N}_+)\) ，

使得 \(|FP_1|,|FP_2|,|FP_3|,\cdots\) 组成公差为 \(d~(d > 0)\) 的等差数列，则下列选项正确的是_______ 。 \[ \begin{aligned} &\text{A.}\,\texttt{该椭圆的焦距为}\,6 && \text{B.}\,|FP_1|\,\texttt{的最小值为}\,2 \\[6pt]&\text{C.}\,d\,\texttt{的值可以为}\,\frac{3}{10} && \text{D.}\,d\,\texttt{的值可以为}\,\frac{2}{5} \end{aligned} \] 解：选 ABC

由椭圆 \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 得 \(a = 5, b = 4, c = 3\) ，故 A 正确。

椭圆上的动点 \(P\) 满足 \(a - c \le |PF| \le a + c\) ，即 \(2 \le |PF| \le 8\) ，故 \(|FP_1|_{\min} = 2\) ，故 B 正确。

设 \(|FP_1|,|FP_2|,|FP_3|,\cdots\) 组成的等差数列为 \(\{a_n\}\) ，公差 \(d > 0\) ，则 \(a_1 \ge 2,a_n \le 8\)

又 \(d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}\) ，所以 \(d \leqslant \frac{6}{n-1} \leqslant \frac{6}{21-1}=\frac{3}{10}\) ，所以 \(0 < d \le \frac{3}{10}\) ，故 C 对 D 错，即 ABC 。

十、点与椭圆的位置关系

不失一般性，我们仅讨论焦点在 \(x\) 轴上的情况。

若点在椭圆内，则 \(|PF_1|+|PF_2| < 2a\) 或 \(\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}<1\) 。
若点在椭圆上，则 \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\) 或 \(\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1\) 。
若点在椭圆外，则 \(|PF_1| + |PF_2| > 2a\) 或 \(\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}>1\) 。

十一、直线与椭圆的位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系。

考虑从解析几何的角度研究直线与椭圆的位置关系。首先明确交点数量，分别为 \(0,1,2\) 。

设直线方程 \(y = kx + m\) ，椭圆方程为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)\) ，联立方程得 \(\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.\)

根据方程组的解的情况，便可知直线与椭圆有何位置关系。

通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论。

通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程。

例1：

已知直线 \(l : y = 2x + m\) ，椭圆 \(C : \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\) ，试问当 \(m\) 取何值时，直线 \(l\) 与椭圆 \(C\) 相交、相切、相离。

解：

将直线 \(l\) 的方程与椭圆 \(C\) 的方程联立，得 \(\left\{\begin{array}{l}y=2 x+m \\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.\) 。消去 \(y\) ，得 \(9 x^2+8 m x+2 m^2-4=0\) ①。

方程①的根的判别式 \(\Delta = (8 m)^2-4 \times 9 \times\left(2 m^2-4\right) = -8m^2 + 144\) 。

当 \(\Delta > 0\) 即 \(-3\sqrt{2} < m < 3 \sqrt{2}\) 时，方程①有两个不同的实数根，则此时直线 \(l\) 与椭圆 \(C\) 相交。
当 \(\Delta = 0\) 即 \(m = \pm 3\sqrt{2}\) 时，方程①有两个相同的实数根，则此时直线 \(l\) 与椭圆 \(C\) 相切。
当 \(\Delta < 0\) 即 \(m < -3\sqrt{2}\) 或 \(m > 3\sqrt{2}\) 时，方程①没有实数根，则此时直线 \(l\) 与椭圆 \(C\) 相离。

例2：

若直线 \(y = kx + 1\) 与焦点在 \(x\) 轴上的椭圆 \(\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1\) 总有公共点，求 \(m\) 的取值范围。

解：

因为直线 \(y = kx+1\) 过定点 \(M(0,1)\) ，要使直线与该椭圆总有公共点

则点 \(M(0,1)\) 必在椭圆内或椭圆上，由此得 \(\left\{\begin{array}{l}0<m<5 \\\frac{0^2}{5}+\frac{1^2}{m} \leq 1\end{array}\right.\) ，解得 \(1 \le m < 5\) 。

十二、椭圆的弦长问题

前面我们在“通径”的定义中已经提到过“弦”这一概念了，这里再明确一下。

弦的定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦。

弦长公式：

这个我们在讲圆的时候提到过，公式是其实一样的。

设 \(A,B(A \ne B)\) 分别为直线 \(l : y = kx + m\) 与椭圆（焦点无所谓在哪里）的交点，则 \[ |AB| = \sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \] 或者当 \(k \ne 0\) 时 \[ \begin{aligned} |AB| = \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| \end{aligned} \]

公式推导： \[ \begin{aligned} \left|P_1 P_2\right| &=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \\[6pt]& =\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2\left[1+\left(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)^2\right]} \\[6pt]& =\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2\left(1+k^2\right)} =\left|x_1-x_2\right| \cdot \sqrt{1+k^2} \end{aligned} \] 同理可得 \(\left|P_1 P_2\right|=\left|y_1-y_2\right| \cdot \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}~ (k \ne 0)\) 。

在使用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程。

涉及弦长问题，应联立直线与椭圆的方程，并设法消去未知数 \(y\) 或 \(x\) ，得到 \(x\) 或 \(y\) 的一元二次方程。

而 \(|x_1-x_2|\) 一般采用韦达定理求解，即 \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2}\)

故由韦达定理，结合方程得 \(x_1 + x_2, x_1x_2\) （或 \(y_1 + y_2, y_1y_2\) ）代入弦长公式即可。

小技巧：若 \(x_1,x_2\) 是一元二次方程 \(ax^2 + bx+c = 0(a \ne 0)\) 的两根，则 \(|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\) 。

这个其实用二次函数的性质就可以证明。

十三、“中点弦”问题

中点弦指的是：对于给定点 \(P\) 和给定的圆锥曲线 \(C\) ，

若 \(C\) 上的某条弦 \(AB\) 过 \(P\) 点且被 \(P\) 点平分，则称该弦 \(AB\) 为圆锥曲线 \(C\) 上过 \(P\) 点的中点弦。

一般是已知中点 \(P\) 的坐标，求直线 \(AB\) 的方程，或者已知其他求直线 \(M\) 的轨迹方程等等。

1. 解决椭圆中点弦问题的三种方法

根与系数的关系法：

联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系，

以及中点坐标公式解决。设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，线段 \(AB\) 的中点为 \(P(x_0,y_0)\) ，则 \[ \left\{\begin{array}{l} 2 x_0=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\[6pt]2 y_0=y_1+y_{2} \end{array}\right. \]
点差法：

这是处理弦中点轨迹问题的常用方法。

利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程

然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 代入椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) ，得 \[ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1 \\[6pt] \dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1 \end{array}\right. \] 上面减下面可得 \(\frac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}{a^2}+\frac{\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)}{b^2}=0\) 。

设线段 \(AB\) 的中点为 \(P(x_0,y_0)\) ，当 \(x_1 \ne x_2\) 时，有 \(\frac{x_0}{a^2}+\frac{y_0 \cdot k}{b^2}=0\) 。

因为 \(P(x_0,y_0)\) 为弦 \(AB\) 的中点，从而转化为中点 \(P(x_0,y_0)\) 与直线 \(AB\) 斜率之间的关系
共线法：

考虑利用中点坐标公式，设弦的中点为 \(P(x_0,y_0)\)

设其一交点为 \(A(x,y)\) ，则另一交点为 \(B(2x_0-x,2y_0-y)\) ，于是 \[ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\[6pt] \dfrac{\left(2 x_0-x\right)^2}{a^2}+\dfrac{\left(2 y_0-y\right)^2}{b^2}=1 \end{array}\right. \]

例1：

已知椭圆 \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) 的弦 \(AB\) 的中点 \(M\) 的坐标为 \((2,1)\) ，求直线 \(AB\) 的方程。

解：

根与系数关系法：

由题意知直线 \(AB\) 的斜率存在，设直线 \(AB\) 的方程为 \(y - 1 = k(x - 2)\)

将其代入椭圆方程并整理得 \(\left(4 k^2+1\right) x^2-8\left(2 k^2-k\right) x+4(2 k-1)^2-16=0\) 。

设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，则 \(x_1,x_2\) 是上述方程的两根，于是 \(x_1+x_2=\frac{8\left(2 k^2-k\right)}{4 k^2+1}\) 。

又 \(M\) 为线段 \(AB\) 的中点，故 \(\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4\left(2 k^2-k\right)}{4 k^2+1}=2\) ，解得 \(k = -\frac{1}{2}\) 。

故所求直线的方程为 \(x+2 y-4=0\) 。
点差法：

设 \(A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), x_1 \neq x_2\) 。

因为 \(M(2,1)\) 为线段 \(A B\) 的中点，所以 \(x_1+x_2=4, y_1+y_2=2\) 。

又 \(A, B\) 两点在椭圆上，则 \(x_1^2+4 y_1^2=16, x_2^2+4 y_2^2=16\)

两式相减，得 \((x_1^2-x_2^2)+4(y_1^2-y_2^2)=0\) ，于是 \(\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)+4\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)=0\) 。

因此 \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{x_1+x_2}{4\left(y_1+y_2\right)}=-\frac{4}{4 \times 2}=-\frac{1}{2}\) ，即 \(k_{A B}=-\frac{1}{2}\) 。故所求直线的方程为 \(x+2 y-4=0\) 。
共线法：

设所求直线与椭圆的一个交点为 \(A(x,y)\) ，由于点 \(M(2,1)\) 为线段 \(AB\) 的中点，则 \(B(4-x,2-y)\) 。

因为 \(A,B\) 都在椭圆上，所以 \(\left\{\begin{array}{l}x^2+4 y^2=16 \\(4-x)^2+4(2-y)^2=16\end{array}\right.\) ，上减下，得 \(x + 2y - 4\) 。

即点 \(A\) 的坐标满足这个方程，根据对称性，点 \(B\) 的坐标也满足这个方程

而过 \(A,B\) 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为 \(x + 2y - 4 = 0\) 。

例2：

已知椭圆 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) 及点 \(D(2,1)\) 。

过点 \(D\) 任意引直线交椭圆于 \(A, B\) 两点，求线段 \(A B\) 的中点 \(M\) 的轨迹方程。

解：（点差法）

设 \(M(x,y),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，则 \(\left\{\begin{array}{l}4 x_1^2+9 y_1^2=36 \\4 x_2^2+9 y_2^2=36\end{array}\right.\) 。上减下，得 \[ 4\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)+9\left(y_1-y_2\right)\left(y_1+y_2\right)=0 \] 因为 \(M(x,y)\) 为 \(AB\) 中点，所以 \(\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=2 x \\y_1+y_2=2 y\end{array}\right.\) ，则 \(4 \times 2 x\left(x_1-x_2\right)+9 \times 2 y\left(y_1-y_2\right)=0\) 。

设线段 \(AB\) 所在直线的斜率为 \(k\) ，当 \(x_1 \ne x_2\) 时， \(k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{4x}{9y}\) 。

故 \(k = \frac{y - 1}{x - 2} = -\frac{4x}{9y}\) ，化简得 \(4x^2 + 9y^2 - 8x - 9y = 0\) 。

因为当 \(x_1 = x_2\) 时，中点 \(M(2,0)\) 满足上述方程，所以点 \(M\) 的轨迹方程为 \(4x^2 + 9y^2 - 8x - 9y = 0\) 。

2. 弦中点与直线斜率的关系（椭圆的第三定义）

线段 \(AB\) 是椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 的一条弦，当弦 \(AB\) 所在直线的斜率存在时，

弦 \(AB\) 的中点 \(M\) 的坐标为 \((x_0,y_0)\) ，则弦 \(AB\) 所在直线的斜率为 \(-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\) ，即 \(k_{O M} \cdot k_{A B}=-\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1\) 。

类似地，当椭圆为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 时，该性质变更为 \(k_{O M} \cdot k_{A B}=-\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{e^2 - 1}\) 。

这其实是椭圆和双曲线的第三定义（的三次推广）：

平面内的动点到两定点 \(A\left(-a, 0\right) 、 B\left(a, 0\right)\) 的斜率乘积等于常数 \(e^2-1\) 的点的轨迹叫做椭圆或双曲线

其中两定点分别为椭圆或双曲线的长轴顶点。当常数大于 \(-1\) 小于 \(0\) 时为椭圆，当常数大于 \(0\) 时为双曲线。

当焦点在 \(y\) 轴上时，斜率乘积为 \(\dfrac{1}{e^2-1}\) 。

对于第三定义的多次推广，可以看这篇文章【圆锥曲线】第三定义及斜率乘积为定值 - 知乎

例1：

过点 \(M(1,1)\) 作斜率为 \(-\frac{1}{2}\) 的直线，

与椭圆 \(C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)\) 相交于 \(A,B\) 两点。若 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点，求椭圆的离心率。

解：

因为 \(k_{A B} \cdot k_{O M}=-\frac{b^2}{a^2}\) ，则 \(a^2 = 2b^2\) ，故椭圆 \(C\) 的离心率为 \(e = \sqrt{1 - \frac{b ^ 2}{a ^ 2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 。

例2：

已知 \(A,B\) 是椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 长轴的两个端点， \(M,N\) 是椭圆上关于 \(x\) 轴对称的两点

设直线 \(A M,B N\) 的斜率分别为 \(k_1,k_2\) ，且 \(k_1 k_2 \neq 0\) 。若 \(\left|k_1\right|+\left|k_2\right|\) 的最小值为 \(1\)，求椭圆的离心率。

解：

连接 \(MB\) ，由椭圆的第三定义可得 \(k_{AM} \cdot k_{BM} = e^2 - 1 = -\frac{b^2}{a^2}\)

而 \(k_{BM} = -k_{BN}\) ，所以 \(k_1k_2 = \frac{b^2}{a^2}\) 。又 \(|k_1| + |k_2| \ge 2 \sqrt{|k_1|\cdot|k_2|} = \frac{2b}{a} = 1\) ，则 \(e = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 。

例3：

已知 \(A,B\) 是椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 长轴的两个端点

若椭圆上存在点 \(Q\) ，使得 \(\measuredangle A Q B=\frac{2 \pi}{3}\) ，求椭圆的离心率的取值范围。

解：

令 \(Q\) 在 \(x\) 轴上方，则直线 \(QA\) 的倾斜角为 \(\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{3}\right)\) ，直线 \(QB\) 的倾斜角为 \(\beta = \alpha +\frac{2\pi}{3}\) 。

由椭圆的第三定义，\(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \tan \alpha \cdot \tan \left(\alpha+\frac{2 \pi}{3}\right)=e^2-1\)

即 \(\tan \alpha \cdot \frac{\tan \alpha-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3} \tan \alpha}=e^2-1\) 。令 \(t = 1 + \sqrt{3} \tan\alpha, t \in (1,4)\) ，则 \(e^2 - 1 = \frac{t}{3}+\frac{4}{3 t}-\frac{5}{3} \geq-\frac{1}{3}\)

所以 \(e^2 \ge \frac{2}{3}\) ，即 \(e \ge \frac{\sqrt{6}}{3}\)，当 \(t = 2\) 时等号成立，故 \(e \in \left[\frac{\sqrt{6}}{3},1\right)\) 。

十四、椭圆中的最值问题

几何法：

若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图像性质来解决。

解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的集合意义，并能接住相应曲线的定义求解。
代数法：

若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，

将目标变量表示为一个（或多个）变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法,

或应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响。
其他方法求解最值问题：

可将椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a > b > 0)\) 上的点 \(M\) 坐标设为 \((a \cos \vartheta, b \sin \vartheta)\) ，其中 \(\vartheta \in [0,2\pi)\) 。

例：

设 \(M(x, y)\) 是椭圆 \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) 上的任意一点，求 \(x+y\) 的最值。

解：设 \(x=4 \cos \theta, ~y=3 \sin \theta, \theta \in[0,2 \pi)\) ，则 \[ x+y=4 \cos \theta+3 \sin \theta=5 \sin (\vartheta+\textstyle\arctan \frac{4}{3}) \] 因为 \(\sin (\vartheta+\textstyle\arctan \frac{4}{3}) \in [-1,1]\) ，所以 \(x + y \in [-5,5]\) 。

即 \((x+y)_{\min}=-5,(x+y)_{\max} = 5\) 。

求最值的基本方法：

求解形如 \(|PA| + |PB|\) 的最值问题

一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时，\(|PA| + |PB|\) 取到最值。
求解形如 \(|PA|\) 的最值问题

一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围。
求解形如 \(ax+ by\) 的最值问题

一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决。

例1：

已知椭圆 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}=1(0<b<3)\) 的左右焦点分别为 \(F_1, F_2\)

过 \(F_1\) 的直线 \(l\) 交椭圆于 \(A, B\) 两点，若 \(\left|B F_2\right|+\) \(\left|A F_2\right|\) 的最大值为 \(8\) ，求 \(b\) 。

解：

根据椭圆的定义可知，\(|AF_1| + |AF_2| + |BF_1| + |BF_2| = 4a = 12\) ，所以 \(|BF_2| + |AF_2| = 12 - |AB|\) 。

结合椭圆图像可知，当 \(AB \perp x\) 轴时， \(AB\) 最短，此时 \(|BF_2| + |AF_2|\) 取得最大值 \(8\) ，\(|AB| = 4\) 。

根据椭圆的对称性可知，\(|AF_1| = 2\) ，所以 \(|AF_2| = 2a - |AF_1| = 4,|F_1F_2| = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} = 2c\)

故 \(c = \sqrt{3}, b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{6}\) 。

例2：

已知点 \(P(x,y)\) 在椭圆 \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 上，求 \(\sqrt{x^2+y^2-6 x+9}\) 的最大值和最小值。

解：

由 \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) ，知 \(a=5, b=4, c=3\) ， \(\sqrt{x^2+y^2-6 x+9}=\sqrt{(x-3)^2+y^2}\)

问题转化为求椭圆 \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 上的点 \(P(x, y)\) 到右焦点 \(F(3,0)\) 距离的最大值和最小值

其中最大值为 \(a+c=8\) ，最小值为 \(a-c=2\)

例3：

已知 \(c\) 是椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的半焦距，求 \(\frac{b+c}{a}\) 的取值范围。

解：

设短轴端点与右焦点的连线和 \(x\) 的夹角为 \(\vartheta \in(0,\frac{\pi}{2})\) ，则 \[ \frac{b+c}{a}= \sin \vartheta +\cos \vartheta =\sqrt{2} \cdot \sin {\left(\vartheta+\frac{\pi}{4} \right)} \] 则 \(\frac{b+c}{a}\) 的取值范围为 \((1,\sqrt{2}]\) 。

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