圆锥曲线-切点弦方程

这里的结论大题都可以直接用。

---

一、切点弦长公式

设直线 $l$ 交圆锥曲线于 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 连线，则切点弦 $AB$ 有

$$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \\[6pt]&= \textstyle\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| \end{aligned}$$

用法：

这里以圆举例。考虑将直线方程与圆的方程组成方程组

将方程组 $\left\{\begin{array}{l}y = kx + m \\ (x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r^2\end{array}\right.$ 消元后得一元二次方程

由一元二次方程中根与系数的关系可得 $x_1+x_2,~x_1x_2$ 或 $y_1 + y_2,~y_1y_2$ 的关系式。

例题会在圆锥曲线各章节细讲。

---

二、切点弦方程

设 $P(x_0,y_0)$ 为圆锥曲线外某一点，则两切点连线方程可以表示为：

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\texttt{标准方程} & \texttt{切点弦方程} \\[3pt]\hline \texttt{圆} & \left\{\begin{array}{l} x^2 + y^2 = r^2 \\[6pt] (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 \\[6pt] x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \end{array}\right. &\left\{\begin{array}{l} x_0x+y_0y = r^2 \\[6pt] (x_0 - a)(x-a) + (y_0 - b)(y - b) = r ^ 2 \\[6pt] x_0 x+y_0 y+\frac{D(x_0+x)}{2}+\frac{E(y_0+y)}{2}+F=0 \end{array}\right. \\[8pt]\hline \texttt{椭圆} & \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\[3pt] \dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. &\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x_0\cdot x}{a^2}+\dfrac{y_0\cdot y}{b^2}=1 \\[6pt] \dfrac{y_0\cdot y}{a^2}+\dfrac{x_0\cdot x}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. \\[8pt] \hline \texttt{双曲线} & \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\[3pt] \dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. &\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x_0\cdot x}{a^2}-\dfrac{y_0\cdot y}{b^2}=1 \\[6pt] \dfrac{y_0\cdot y}{a^2}-\dfrac{x_0\cdot x}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. \\[8pt] \hline \texttt{抛物线} & \left\{\begin{array}{l} y^2=2px \\[3pt] y^2 = -2px \\[3pt] x^2=2py \\[3pt] x^2=-2py \end{array}\right. \quad(p > 0) &\left\{\begin{array}{l} y_0\cdot y=p(x_0 + x) \\[3pt] y_0\cdot y = -p(x_0 + x) \\[3pt] x_0\cdot x=p(y_0+y) \\[3pt] x_0\cdot x=-p(y_0+y) \end{array}\right. \quad(p > 0) \\[8pt] \hline \end{array}$$

记忆方法：两个变量就改一个，一个变量就加一下再除二。

例题：

之后再补。

---

参考文献：

[1] 高中数学：圆锥曲线切点弦性质及方程的推导和例题解析 - 知乎