圆锥曲线-切点弦方程
这里的结论大题都可以直接用。
一、切点弦长公式
设直线 l 交圆锥曲线于 A(x1,y1),B(x2,y2) 连线,则切点弦 AB 有
|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+1k2|y1−y2|用法:
这里以圆举例。考虑将直线方程与圆的方程组成方程组
将方程组 {y=kx+m(x−a)2+(y−b)2=r2 消元后得一元二次方程
由一元二次方程中根与系数的关系可得 x1+x2, x1x2 或 y1+y2, y1y2 的关系式。
例题会在圆锥曲线各章节细讲。
二、切点弦方程
设 P(x0,y0) 为圆锥曲线外某一点,则两切点连线方程可以表示为:
标准方程切点弦方程圆{x2+y2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0{x0x+y0y=r2(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2x0x+y0y+D(x0+x)2+E(y0+y)2+F=0椭圆{x2a2+y2b2=1y2a2+x2b2=1(a>b>0){x0⋅xa2+y0⋅yb2=1y0⋅ya2+x0⋅xb2=1(a>b>0)双曲线{x2a2−y2b2=1y2a2−x2b2=1(a>b>0){x0⋅xa2−y0⋅yb2=1y0⋅ya2−x0⋅xb2=1(a>b>0)抛物线{y2=2pxy2=−2pxx2=2pyx2=−2py(p>0){y0⋅y=p(x0+x)y0⋅y=−p(x0+x)x0⋅x=p(y0+y)x0⋅x=−p(y0+y)(p>0)记忆方法:两个变量就改一个,一个变量就加一下再除二。
例题:
之后再补。
参考文献: