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圆锥曲线-切点弦方程

这里的结论大题都可以直接用。


一、切点弦长公式

设直线 l 交圆锥曲线于 A(x1,y1),B(x2,y2) 连线,则切点弦 AB

|AB|=1+k2|x1x2|=1+1k2|y1y2|

用法

这里以圆举例。考虑将直线方程与圆的方程组成方程组

将方程组 {y=kx+m(xa)2+(yb)2=r2 消元后得一元二次方程

由一元二次方程中根与系数的关系可得 x1+x2, x1x2y1+y2, y1y2 的关系式。

例题会在圆锥曲线各章节细讲。


二、切点弦方程

P(x0,y0) 为圆锥曲线外某一点,则两切点连线方程可以表示为:

标准方程切点弦方程{x2+y2=r2(xa)2+(yb)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0{x0x+y0y=r2(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2x0x+y0y+D(x0+x)2+E(y0+y)2+F=0椭圆{x2a2+y2b2=1y2a2+x2b2=1(a>b>0){x0xa2+y0yb2=1y0ya2+x0xb2=1(a>b>0)双曲线{x2a2y2b2=1y2a2x2b2=1(a>b>0){x0xa2y0yb2=1y0ya2x0xb2=1(a>b>0)抛物线{y2=2pxy2=2pxx2=2pyx2=2py(p>0){y0y=p(x0+x)y0y=p(x0+x)x0x=p(y0+y)x0x=p(y0+y)(p>0)

记忆方法:两个变量就改一个,一个变量就加一下再除二。

例题

之后再补。


参考文献

[1] 高中数学:圆锥曲线切点弦性质及方程的推导和例题解析 - 知乎


文章作者: q779
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