切点弦方程

这里的结论在高考的大题中可以直接用。

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一、弦长公式

设直线 $l$ 交圆锥曲线于 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 连线，已知斜率为 $k$ ，则切点弦 $AB$ 有

$$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \\[6pt]&= \textstyle\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| \end{aligned}$$

如何理解？

画张图就知道了，$|x_1-x_2|$ 就是三角形的底边长度，

$\sqrt{1+k^2}$ 就是斜边和底边的比例，乘一下就是 $AB$ 的长度了

用法：

这里以圆举例。考虑将直线方程与圆的方程组成方程组

将方程组 $\left\{\begin{array}{l}y = kx + m \\ (x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r^2\end{array}\right.$ 消元后得一元二次方程

由一元二次方程中根与系数的关系可得 $x_1+x_2,~x_1x_2$ 或 $y_1 + y_2,~y_1y_2$ 的关系式。

例题会在圆锥曲线各章节细讲。

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二、切点弦方程

切点弦方程的意思就是过圆锥曲线外一点 $P$ 作曲线的切线，会有两条切线，

这两条切线对应的两个切点与 $P$ 的位置关系满足特定方程，这个方程叫作切点弦方程。

设 $P(x_0,y_0)$ 为圆锥曲线外某一点，则两切点连线方程可以表示为：

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\texttt{标准方程} & \texttt{切点弦方程} \\[3pt]\hline \texttt{圆} & \left\{\begin{array}{l} x^2 + y^2 = r^2 \\[6pt] (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 \\[6pt] x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \end{array}\right. &\left\{\begin{array}{l} x_0x+y_0y = r^2 \\[6pt] (x_0 - a)(x-a) + (y_0 - b)(y - b) = r ^ 2 \\[6pt] x_0 x+y_0 y+\frac{D(x_0+x)}{2}+\frac{E(y_0+y)}{2}+F=0 \end{array}\right. \\[8pt]\hline \texttt{椭圆} & \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\[3pt] \dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. &\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x_0\cdot x}{a^2}+\dfrac{y_0\cdot y}{b^2}=1 \\[6pt] \dfrac{y_0\cdot y}{a^2}+\dfrac{x_0\cdot x}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. \\[8pt] \hline \texttt{双曲线} & \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\[3pt] \dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. &\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x_0\cdot x}{a^2}-\dfrac{y_0\cdot y}{b^2}=1 \\[6pt] \dfrac{y_0\cdot y}{a^2}-\dfrac{x_0\cdot x}{b^2}=1 \end{array} \quad(a > b > 0)\right. \\[8pt] \hline \texttt{抛物线} & \left\{\begin{array}{l} y^2=2px \\[3pt] y^2 = -2px \\[3pt] x^2=2py \\[3pt] x^2=-2py \end{array}\right. \quad(p > 0) &\left\{\begin{array}{l} y_0\cdot y=p(x_0 + x) \\[3pt] y_0\cdot y = -p(x_0 + x) \\[3pt] x_0\cdot x=p(y_0+y) \\[3pt] x_0\cdot x=-p(y_0+y) \end{array}\right. \quad(p > 0) \\[8pt] \hline \end{array}$$

记忆方法：切线方程的 $x_0,y_0$ 改成 $x,y$ 以后就是原方程。

推导过程 以椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 为例，设过点 $P(x_0,y_0)$ 的切线在椭圆上的切点为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

由椭圆的切线方程可得

$$\frac{x x_1}{a^2}+\frac{y y_1}{b^2}=1, \quad \frac{x x_2}{a^2}+\frac{y y_2}{b^2}=1$$

由 $P$ 在两条切线上，代入得

$$\frac{x_0 x_1}{a^2}+\frac{y_0 y_1}{b^2}=1,\quad \frac{x_0 x_2}{a^2}+\frac{y_0 y_2}{b^2}=1$$

这表明 $A$ 和 $B$ 均满足方程

$$\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$$

例题：

之后再补。

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参考文献：

[1] 高中数学：圆锥曲线切点弦性质及方程的推导和例题解析 - 知乎