圆的方程
一、圆的标准方程
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。
则以 $(a,b)$ 为圆心，$r$ 为半径的圆的标准方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ~(r > 0)$
特别地，单位圆为 $x^2 + y^2 = r^2$ 。
二、圆的一般方程
方程 $x^2+y^2+D x+E y+F=0\left(D^2+E^2-4 F>0\right)$ 叫作圆的一般方程。
转换为标准方程为
当 $D^2+E^2-4 F>0$ 时， $x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 表示一个圆。
这时圆心为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ ，圆的半径为 $\frac{\sqrt{D^2+E^2-4 F}}{2}$ 。
当 $D^2+E^2-4 F=0$ 时， $x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 表示一个点 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ 。
- 当 $D^2+E^2-4 F<0$ 时，$x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 不表示任何图形。
从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母
因此在一般条件下，只要一直三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程。
下列情况比较适用圆的一般方程：
已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数 $D,E,F$ 。
已知圆上两点、圆心所在的直线
考虑将两个点代入圆的方程，将圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ 代入圆心所在的直线方程，求待定系数 $D,E,F$ 。
拓展：
二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程 $A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0$ 构成圆的条件为：
三、点与圆的位置关系
判断方法：
几何法：即判断 $r$ 与 $|OA|$ 的大小关系。
代数法：根据点的坐标与圆的方程的关系判断
标准方程：已知点 $P(x_0,y_0)$ ，圆的方程 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- 点 $P$ 在圆外，则 $(x-a)^2+(y-b)^2 > r^2$ 。
- 点 $P$ 在圆上，则 $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$ 。
点 $P$ 在圆内，则 $(x-a)^2+(y-b)^2 < r^2$
一般方程：已知点 $P(x_0,y_0)$ ，圆的方程 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$
点 $P$ 在圆外，则 $x^2+y^2+D x+E y+F > 0$ 。
- 点 $P$ 在圆上，则 $x^2+y^2+D x+E y+F = 0$ 。
- 点 $P$ 在圆内，则 $x^2+y^2+D x+E y+F < 0$
四、与圆有关的对称问题
圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称。
圆关于点对称：
求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置。
若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点。
圆关于直线对称
求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置。
若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线。
五、轨迹方程及其求法
轨迹方程指的就是一个动点按照一定规则移动，形成的曲线的方程。
求曲线的轨迹方程，一般有三种方法：直接法、代入法、定义法。
1. 直接法
步骤如下：
- 建立直角坐标系
- 设 $(x,y)$ 表示动点 $P$
- 列出关于 $x,y$ 的方程
- 化简方程。对于某些情况，可能要舍弃曲线上的特殊点。
2. 代入法
一般用于处理一个主动点与一个被动点的问题
只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程。
3. 定义法
先由已知条件及曲线定义得到所求轨迹为何种曲线，再由该种曲线的标准方程求得轨迹方程。
4. 例题
例：
已知点 $P$ 在圆 $C : x^2+y^2-8 x-6 y+21=0$ 上运动， $O$ 为坐标原点，求线段 $OP$ 的中点 $M$ 的轨迹方程。
解：
直接法（本题代入法解法相同）：
设 $M$ 的坐标为 $(x,y)$ ，点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ ，则 $x = \frac{x_0}{2}, y = \frac{y_0}{2}$ ，即 $x_0 = 2x,y_0 = 2y$ 。
因为点 $P(x_0,y_0)$ 在圆 $C : x^2 + y ^ 2 - 8x - 6y + 21 = 0$ 上
所以 $x_0^2 + y_0^2 - 8x_0 - 6y_0 + 21 = 0$ ，故 $(2 x)^2+(2 y)^2-8 \times(2 x)-6 \times(2 y)+21=0$ 。
即点 $M$ 的轨迹方程为 $x^2 + y^2 - 4x - 3y + \frac{21}{4} = 0$ 。
定义法：
如右图，设点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$ 连接 $OC,PC$ ，取线段 $OC$ 的终端 $A$ ，连接 $MA$ 。
圆 $C$ 的方程可化为 $(x - 4) ^ 2 + (y - 3)^2 = 4$ ，圆心 $C$ 为 $(4,3)$ ，$|CP| = 2$ ，则点 $A$ 的坐标为 $(2,\frac{3}{2})$ 。
在 $\triangle OCP$ 中， $M,A$ 分别是 $OP,OC$ 的中点，则 $|M A|=\frac{1}{2}|C P|=1$
又当 $O,C,P$ 三点共线时，$|MA| = 1$ ，则点 $M$ 的运动轨迹是以 $A$ 为圆心， $1$ 为半径的圆。
故点 $M$ 的轨迹方程为 $(x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 1$ 。
六、点到圆上距离的最值
设点 $P(x_0,y_0)$ （不一定是定点），求 $P$ 到圆 $C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上一点 $Q$ 的最大值和最小值。
这里先给出答案：
证明：
考虑当 $P$ 点固定时对应的最优 $Q$ ，根据结论 $Q_0,Q_0^{\prime}$ 对应了取最大值和最小值时 $Q$ 点所在的位置。
容易发现 $|PQ_0| = |PO| + |OQ_1| > |PQ_1|$ ，因此取最大值时，$Q$ 点一定在 $Q_0$ 处。$\square$
这里强调了固定 $P$ 时，也就是说 $P$ 不一定为定点，但是对于 $P$ 的每个位置，都存在对应的 $Q_0$ ，结论仍成立。
七、拓展：阿波罗尼斯圆
1. 定义参考
这不在高考的范围内，但是可以了解一下，考试会以材料的形式给出。
建议仅了解例题即可（
真的有人像我一样闲着去看了中文维基吗
阿波罗尼奥斯圆是两个相关的圆族。第一个圆族的每一个蓝色圆与第二个圆族的每一个红色圆相互正交。这些圆构成了双极坐标系的基)。
阿波罗尼奥斯圆是线段定义的，标记此线段为 $CD$ 。
第一族（蓝色圆）
第一族中的每一个圆都由一个正实数 $r$ 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 $X$ 的轨迹
即 $X$ 到 $C$ 的距离与 $X$ 到 $D$ 的距离之比值为 $r$ 。
当 $r$ 很接近零时，相应的圆会靠近 $C$ 的一侧，反之更靠近 $D$ 的一侧。
当 $r=1$ 时，该圆会退化为线段 $CD$ 的中垂线。
第二族（红色圆）
第二族中的每个圆都由角 $\vartheta$ 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 $X$ 的轨迹
其中 $\measuredangle CXD$ 表示 CXD 的有向角。当 $\vartheta$ 取遍 $0$ 到 $\pi$ 之间的所有值时，上式生成所有经过 $C$ 和 $D$ 的圆
2. 例题
阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被合称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆雉曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆雉曲线论》一书。
阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：
已知动点 $M$ 与两定点 $A, B$ 的距离之比为 $\lambda(\lambda>0, \lambda \neq 1)$ ，那么点 $M$ 的轨迹就是阿波罗尼斯圆。
如动点 $M$ 与两定点 $A\left(\frac{9}{5}, 0\right), B(5,0)$ 的距离之比为 $\frac{3}{5}$ 时的阿波罗尼斯圆为 $x^2+y^2=9$ 。
下面，我们来研究与此相关的一个问题。
已知圆 $O: x^2+y^2=1$ 上的动点 $M$ 和定点 $A\left(-\frac{1}{2}, 0\right), B(1,1)$, 则 $2|M A|+|M B|$ 的最小值为______ 。
解：
如图，取点 $K(-2,0)$ ，连接 $OM,MK$。
因为 $|OM| = 1,|OA| = \frac{1}{2},|OK| = 2$ ，所以 $\frac{|OM|}{|OA|} = \frac{|OK|}{|OM|} = 2$ 。
又因为 $\measuredangle MOK= \measuredangle AOM$ ，所以 $\triangle MOK \sim \triangle AOM$ ，则 $\frac{|M K|}{|M A|}=\frac{|O M|}{|O A|}=2$ ，故 $|MK| = 2|MA|$ 。
所以 $|M B|+2|M A|=|M B|+|M K|$ ，又在 $\triangle MBK$ 中，$|MB| + |MK| \ge |BK|$ ，从而
故答案为 $\sqrt{10}$ 。
八、直线与圆的位置关系及判定
判定方法：
代数法：
通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组的解的个数来研究。
- 若 $\Delta > 0$ ，则直线与圆相交。
- 若 $\Delta = 0$ ，则直线与圆相切。
- 若 $\Delta < 0$ ，则直线与圆相离。
几何法：
判断 $d$ 与 $r$ 的关系即可，如上图（ $d$ 可以用点到直线距离公式算）
九、圆的切线问题及切线方程的求解方法
重要思路分析：
- 当直线与圆相切时，一定会用到 $d=r$ 的结论
- 当一条直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，$l \perp PC$ 。
- 过圆外一点 $P$ 向圆 $C$ 作切线，切点为 $Q$ ，则必定会用到 $|PC|^2 = |PQ|^2 + r^2$ 。
友情提醒：下文中出现了很多 $(x_0,y_0)$ ，请勿混淆其意义。
1. 切线的条数
过平面内一点引圆的切线。
- 若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线。
- 若点在圆上，则过此点只能做圆的一条切线，且此点是切线。
- 若点在圆内，则过此点不能作圆的切线。
2. 过圆外一点与圆相切的切线方程的求法
过圆外一点 $P(x_0,y_0)$ 引圆的两条切线。
先假设切线的斜率存在且为 $k$ ，有下列两种求 $k$ 的方法：
几何法：
设切线方程 $y - y_0 = k(x - x_0)$ ，化为一般式 $kx - y + y_0 - kx_0 = 0$ 。
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，由此解出 $k$ 。
代数法：
设切线方程为 $y - y_0 = k (x - x_0)$ ，与圆的方程 $(x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r^2$ 联立
化为关于 $x$ 的一元二次方程，再利用判别式为 $0$ ，求出 $k$ 。
若通过上述方法只求出一个斜率 $k$ ，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线方程为 $x = x_0$ 。
3. 斜率为 $k$ 且与圆相切的切线方程的求法
几何法：
先设切线方程为 $y = kx + m$ ，化为一般式 $kx - y + m = 0$ 。
然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求 $m$ 。
代数法：
设切线方程为 $y = kx + m$ ，与圆的方程 $(x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r^2$ 联立
化为关于 $x$ 的一元二次方程，再利用判别式为 $0$ ，求出 $m$ 。
4. 过圆上一点的圆的切线方程的求法
设圆上一点 $Q(x_0,y_0)$ 。
求法：
先求切点与圆心连线的斜率 $k(k \ne 0)$ ，则由垂直关系可知切线的斜率为 $-\frac{1}{k}$
由点斜式方程可求得切线方程。如果 $k = 0$ 或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程。
重要结论：
过单位圆 $x^2 + y^2 = r^2$ ，则切线方程为
过圆 $(x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2$ ，则切线方程为
过圆 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ，则切线方程为
注意，下文中出现的切点弦方程与该式有着相同的形式，但是 $(x_0,y_0)$ 的意义是不同的。
这里 $(x_0,y_0)$ 指的是圆上的一个切点的坐标，而后者指的是圆外一点的坐标。
5. 圆的切点弦方程及其求法
切点弦定义：过圆外一点引圆的两条切线，过两切点的线段叫圆的切点弦。
切点弦方程的求法：
直接求切点坐标运算量极大，考虑设而不求。
即设切点坐标，然后利用直线方程的定义求得两切点所在的直线方程。
切点弦公式：（大题可以直接用，完整版详见圆锥曲线-切点弦方程）
过圆外一点 $P(x_0,y_0)$ 引圆 $C$ 的两条切线 $PA,PB$ ，则直线 $AB$ 为圆 $C$ 的切点弦。
过单位圆 $x^2 + y^2 = r^2$ ，则切点弦方程为
过圆 $(x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2$ ，则切点弦方程为
过圆 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ，则切点弦方程为
注意，切点弦公式（标准方程形式）与上文的切点方程有着相同的形式，但 $(x_0,y_0)$ 意义是不同的。
6. 圆的切线长的求法及公式
讲了那么多方程方程的，我们来看看切线长度吧（
过圆外一点 $P(x_0,y_0)$ 引圆的两条切线。
几何法：如下图，在 $\mathrm{Rt}\triangle AOP$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle BOP$ 中，切线长 $|PA| = |PB| = \sqrt{|PO|^2 - r^2}$ 。
代数法：
过圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ，则切线长为
过圆 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$ ，则切线长为
十、切线问题例题
例1：
求经过点 $(1,-7)$ 与圆 $x^2 + y^2 = 25$ 相切的切线方程。
解：（三种方法）
易得 $(1,-7)$ 在圆外且直线 $x = 1$ 不为切线。
设切线的斜率为 $k$ ，由点斜式得直线方程为 $y + 7 = k(x - 1)$ ，即 $y = k(x-1)-7$ 。
代入 $x^2 + y^2 = 25$ 由 $\Delta =\left(2 k^2+14 k\right)^2-4\left(k^2+1\right)\left(k^2+14 k+24\right)=0$ 解得 $k = \frac{4}{3}$ 或 $k=-\frac{3}{4}$ 。
代入可得切线方程为 $4x - 3y - 25 = 0$ 或 $3x+4y + 25 = 0$ 。
易得 $(1,-7)$ 在圆外且直线 $x = 1$ 不为切线。
设切线的斜率为 $k$ ，由点斜式得直线方程为 $y + 7 = k(x - 1)$ ，即 $kx-y-k-7 = 0$ 。
由圆的切线性质，可知圆心 $(0,0)$ 到该直线的距离为 $d = \frac{|0-0-k-7|}{\sqrt{1+k^2}} = r = 5$
则化简可得 $12k^2 - 7k - 12 = 0$ ，解得 $k = \frac{4}{3}$ 或 $k = -\frac{3}{4}$ 。
代入可得切线方程为 $4x - 3y - 25 = 0$ 或 $3x+4y + 25 = 0$ 。
该方法为利用切点弦方程求切线方程。
设所求切线方程为 $x_0x + y_0y = 25$ ，其中 $(x_0,y_0)$ 是切点坐标
将点 $(1,-7)$ 的坐标代入后，得 $x_0 - 7y_0 = 25$
由 $\left\{\begin{array}{l}x_0-7 y_0=25 \\x_0^2+y_0^2=25\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x_0 = 4 \\ y_0 = -3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x_0 = -3 \\y_0 = -4\end{array}\right.$
故所求切线方程为 $4x - 3y - 25 = 0$ 或 $3x+4y+25 = 0$ 。
例2：
点 $P$ 是直线 $x+y-3=0$ 上的动点，由点 $P$ 向圆 $O:x^2 + y^2 = 4$ 作切线，则切线长的取值范围为
解：
切线长 $l = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{d^2 - 4}$ ，考察 $d$ 的取值，易知 $d$ 仅有最小值。
故 $l \ge \sqrt{d_{\min}^2 - 4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
例3：
过原点 $O$ 作圆 $C:x^2-4 x+y^2-4 y+5=0$ 的两条切线，设切点分别为 $A,B$ ，求直线 $AB$ 的方程
解：
套公式得 $-2x-2y+5 = 0$ ，整理得 $2x+2y-5=0$ 。
十一、圆的弦长问题的求解方法
设直线 $l$ 的方程为 $y = kx + m$ ，圆 $C$ 的方程为 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 。
几何法：由下图易知 $r^2 = d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2$ 。
代数法：
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 。
若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解。
若交点坐标无法简单求出，则将方程组 $\left\{\begin{array}{l}y = kx + m \\ (x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r^2\end{array}\right.$ 消元后得一元二次方程
由一元二次方程中根与系数的关系可得 $x_1+x_2,~x_1x_2$ 或 $y_1 + y_2,~y_1y_2$ 的关系式，则有
$\tiny
\begin{aligned}|A B| & =\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \[6pt]& =\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \[6pt]& =\sqrt{\left(1+k^2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2\right]}\end{aligned}$ 或 $\tiny\begin{aligned}|A B| & =\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \[6pt]& =\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| \[6pt]& =\textstyle\sqrt{\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\left[\left(y_1+y_2\right)^2-4 y_1 y_2\right]}\end{aligned}$ （这里的公式没啥用）整理得 $|A B|=\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right|$ 或 $|A B|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right|$ （大题可以直接用）
例1：
直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-3)^2+(y-2)^2=4$ 相交于 $M, N$ 两点。若 $|M N| \ge 2 \sqrt{3}$ ，求 $k$ 的取值范围。
解：
圆 $(x-3)^2+(y-2)^2=4$ 的圆心为 $(3,2)$ ，半径为 $2$ 。
由 $|M N| \ge 2 \sqrt{3}$ 得圆心 $(3,2)$ 到直线 $y = kx + 3$ 的距离 $d = \sqrt{2^2-\left(\frac{|M N|}{2}\right)^2} \le 1$
又直线方程可以化为 $kx - y + 3 = 0$ ，所以 $\frac{|3 k-2+3|}{\sqrt{k^2+1}} \le 1$ 解得 $-\frac{3}{4} \le k \le 0$ ，即 $k \in [-\frac{3}{4},0]$ 。
例2：
设直线 $y = x + 2a$ 与圆 $C:x^2 + y^2 - 2ay - 2 = 0$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $|AB| =2\sqrt{3}$ ，求圆 $C$ 的面积。
解：
直线方程可化为 $x - y + 2a = 0$ ，圆的方程可化为 $(x-0)^2+(y-a)^2=\frac{4 a^2+8}{4}$ 。
因为 $d = \frac{|0 - a + 2a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ ，即 $d^2 = \frac{a^2}{2}$ ，又 $r^2 - d^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2$ ，代入解得 $a^2 = 2$ 。
故 $r^2 = 4$ ，即 $S=\pi r^2 = 4 \pi$ 。
例3：
直线 $y = kx - 1$ 与圆 $C : (x + 3) ^ 2 + (y - 3) ^ 2 = 36$ 相交于 $A,B$ 两点，求 $AB$ 的长度的取值范围
解：
因为直线 $y=k x-1$ 过定点 $(0,-1)$
所以圆 $C$ 的圆心 $(-3,3)$ 到直线 $y=k x-1$ 的距离的最大值为 $\sqrt{[0-(-3)]^2+(-1-3)^2}=5$
又圆 $C$ 的半径为 $6$ ，则 $A B$ 的长度的最小值为 $2 \sqrt{6^2-5^2}=2 \sqrt{11}$ 。
又当直线 $y=$ $k x-1$ 过圆心时 $A B$ 的长度取最大值为直径 $12$ , 故 $|A B| \in$ $[2 \sqrt{11}, 12]$ 。
十二、解与圆有关最值问题的常用方法
1. 利用几何性质求最值
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线。
经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦。
其实这里没啥东西，就是利用弦长还有点到直线的距离处理一些问题。
2. 利用直线与圆的位置关系解决最值（取值范围）问题
解析集合中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式
然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值（取值范围）。
对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解。
- 形如 $u = \frac{y - b}{x - a}$ 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。
- 形如 $t = ax + by$ 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。
- 形如 $(x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2$ 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。
例1：
已知点 $P(x, y)$ 在圆 $C: x^2+y^2-6 x-6 y+14=0$ 上。
- 求 $\frac{y}{x}$ 的最大值和最小值。
- 求 $x^2+y^2+2 x+3$ 的最大值与最小值。
- 求 $x+y$ 的最大值与最小值。
解：
方程 $x^2+y^2-6 x-6 y+14=0$ 可化为 $(x-3)^2+(y-$ $3)^2=4$ 。
$\frac{y}{x}$ 表示圆上的点 $P$ 与原点连线的斜率，如图1（在下面）
显然 $P O$ ( $O$ 为坐标原点) 与圆相切时，斜率最大或最小。
设切线方程为 $y=k x$（由题意知，斜率一定存在），即 $k x-y=0$
由圆心 $C(3,3)$ 到切线的距离等于半径，可得 $\frac{|3 k-3|}{\sqrt{k^2+1}}=2$ ，解得 $k=\frac{9 \pm 2 \sqrt{14}}{5}$
所以 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\frac{9+2 \sqrt{14}}{5}$ ，最小值为 $\frac{9-2 \sqrt{14}}{5}$ 。
$x^2+y^2+2 x+3=(x+1)^2+y^2+2$ ，它表示圆上的点 $P$ 到 $E(-1,0)$ 的距离的平方再加 $2$
所以当点 $P$ 与点 $E$ 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值。
如图2，显然点 $E$ 在圆 $C$ 的外部，
所以点 $P$ 与点 $E$ 距离的最大值为 $|C E|+2$ ，点 $P$ 与点 $E$ 距离的最小值为 $|C E|-2$ 。
又 $|C E|=\sqrt{(3+1)^2+3^2}=5$ ，
所以 $x^2+y^2+2 x+3$ 的最大值为 $(5+2)^2+2=51$ ，最小值为 $(5-2)^2+2=11$ 。
设 $x+y=b$ ，则 $b$ 表示动直线 $y=-x+b$ 在 $y$ 轴上的截距，如图3，
显然当动直线 $y=-x+b$ 与圆 $(x-3)^2+(y-3)^2=4$ 相切时， $b$ 取得最大值或最小值。
此时圆心 $C(3,3)$ 到切线 $x+y=0$ 的距离等于圆的半径
则 $\frac{|3+3-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2$ ，即 $|6 - b| = 2\sqrt{2}$ ，解得 $b = 6 \pm 2\sqrt{2}$ 。
因此 $x+y$ 的最大值为 $6+2 \sqrt{2}$, 最小值为 $6-2 \sqrt{2}$ 。
十三、直线与圆相交的交点问题
涉及直线与圆相交的交点问题，可以联立直线与圆的方程，通过解方程组求出两交点的坐标
但当相应方程组不易求解时，常常用 “设而不求” 的策略整体转化即先设出两交点坐标，但不求出
而是把直线方程代人圆的方程，通过消元使其变为一元二次方程，再运用根与系数的关系整体代换。
常用步骤：
- 设出两交点坐标 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 。
- 利用已知条件（如两线垂直）得出关于 $x_1, x_2, y_1, y_2$ 的关系式（如 $x_1 x_2+y_1 y_2=0$ ）
- 联立直线方程与曲线方程，消去 $y!!$（或消去 $x!$ ）$!!$得到一个关于 $x!!$（或关于 $y!$ ）$!!$的二次方程，计算出 $\Delta$ 。
- 运用韦达定理表示出 $x_1+x_2, x_1x_2$ 或 $y_1+y_2, y_1y_2$ 。
- 代入由第二步确定的关系式中并化简
- 验证 $\Delta>0$ 。
例题：
已知圆 $C: x^2+y^2-2 x+4 y-4=0$ ，是否存在斜率为 $1$ 的直线 $l$
使以「圆 $C$ 截 $l$ 所得的弦 $A B$ 」为直径的圆过原点? 若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在, 说明理由。
解：
设存在满足题意的直线 $l$ ，且方程为 $y=x+b$ 。
由 $\left\{\begin{array}{l}y=x+b, \\ x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\end{array}\right.$ 消去 $y$ ，整理得 $2 x^2+2(b+1) x+b^2+4 b-4=0$ 。
设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ ，则 $x_1+x_2=-(b+1), x_1 \cdot x_2=\frac{b^2+4 b-4}{2}$
因为 $y_1 \cdot y_2=\left(x_1+b\right)\left(x_2+b\right)=x_1 \cdot x_2+b\left(x_1+x_2\right)+b^2$ ，又以 $A B$ 为直径的圆过原点
所以 $O A \perp O B$ 。故有 $k_{O A} \cdot k_{O B}=-1$ ，即 $x_1x_2+y_1y_2=0$
于是有 $b^2+3 b-4=0$ ，解得 $b=1$ 或 $b=-4$ 。
因此存在直线 $l: x-y+1=0$ 或 $x-y-4=0$ 满足题意。
十四、圆与圆的位置关系及判断方法
1. 位置关系种类
圆与圆有五种位置关系，如上图所示，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切。
2. 判断方法
设圆 $C_1 = (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2$ 与圆 $C_2 = (x - c) ^ 2 + (y - d) ^ 2 = R^2$ ，其中 $r < R$ 。
几何法：
由两圆的圆心距 $d$ 与半径 $r,R$ 的关系来判断。
- 外离：$d > R + r$
- 外切：$d = R + r$
- 相交：$R - r < d < R + r$
- 内切：$d = R - r$
- 内含： $d < R - r$
代数法：（显然该方法运算更复杂）
联立两圆方程，根据方程组的解的个数即可作出判断。
- 当 $\Delta > 0$ 时，两圆有 $2$ 个公共点，相交。
- 当 $\Delta = 0$ 时，两圆有 $1$ 个公共点，包括内切和外切（相切）。
- 当 $\Delta < 0$ 时，两圆无公共点，包括内含和外离（相离）。
例：
若圆 $C_1: x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 5 = 0$ ，
与圆 $C_2: x^2+y^2+2 x-2 a y+a^2-3=0$ 相交，求 $a$ 的取值范围。
解：
先写成标准方程的形式，$C_1:(x-a)^2+(y+2)^2=9,~ C_2:(x+1)^2+(y-a)^2=4$ 。
则两圆的圆心和半径分别为 $C_1(a,-2), r_1 = 3,C_2(-1,a),r_2 = 2$ 。
设两圆的圆心距为 $d$ ，则 $d^2 = (a + 1) ^ 2 + (- 2 - a) ^ 2 = 2a^2 + 6a + 5$ 。
因为相切，所以 $3 - 2 < d < 3 + 2 \Rightarrow 1 < d < 5$ ，则 $a \in (-5, -2) \cup (-1,2)$ 。
十五、两圆的公切线
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线。
如果两圆在公切线的同侧，称这条公切线为两圆的外公切线。（蓝色）
如果两圆分别在公切线的两侧，称这条公切线为两圆的内公切线。（绿色）
如上图，亦可以整理为下表的形式。判断公切线的条数，实质上就是在判断两圆的位置关系。
记忆方法：先从内公切线减，再从外公切线减。
公切线方程的求法：
在求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数
然后利用待定系数法，设公切线的方程为 $y = kx + b$ （注意特判斜率不存在）
最后根据相切的条件，得到关于 $k,b$ 的方程组，求出 $k,b$ 的值即可。
十六、两圆相切问题
两圆相切时常用的性质：
- 设两圆的圆心分别为 $O_1,O_2$ ，半径为 $r_1,r_2$ ，则两圆相切有 $\left\{\begin{array}{l}\texttt{内切} \Leftrightarrow\left|O_1 O_2\right|=\left|r_1-r_2\right|\\\texttt{外切} \Leftrightarrow\left|O_1 O_2\right|=r_1+r_2\end{array}\right.$
- 两圆相切时，两圆圆心的连线过切点（两圆若相交，则两圆圆心的连线垂直平分公共弦）
在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算。
处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切
若只是告诉两圆相切, 则必须分两圆内切和外切两种情况讨论
其次，将两圆相切的问题转化为『「两圆的圆心距」等于 $|r_1 - r_2|$ 或 $r_1 + r_2$ 』
例题：
已知圆 $C_1: x^2+y^2+2 a x+a^2-4=0~(a \in \mathbb{R})$
与圆 $C_2:x^2 + y^2 - 2by - 1 + b ^ 2 = 0~ ( b \in \mathbb{R})$ 只有一条公切线，求 $(a + b)_{\min}$ 。
解：
易知 $C_1(-a,0)$ ，半径为 $r_1 = 2$ ，$C_2(0,b)$ ，半径为 $r_2 = 1$ 。
由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距 $|C_1C_2| = \sqrt{a^2 + b^2} = 2 - 1 = 1$ ，故两圆内切。
所以可得 $a^2 + b^2 = 1$ ，设 $a = \cos \alpha, b = \sin \alpha~(\alpha \in \mathbb{R})$ ，则
当且仅当 $\alpha + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi,~k\in \mathbb{Z}$ 时，即 $\alpha = -\frac{3}{4}\pi + 2k\pi,~k \in \mathbb{Z}$ 时，$(a+b)_{\min} = -\sqrt{2}$ 。
十七、两圆公共弦问题
1. 求两圆公共弦所在直线的方程
题外话，这个公共弦所在的直线叫公割线。
设圆 $C_1 : x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0$ ，圆 $C_2: x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0$ 。
结论：若圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交，则两圆公割线方程为两圆方程相减
需注意的是，两圆均以一般方程形式出现，不要减错了。
怎么理解这个方程呢？我们假设点 $P(x_0,y_0)$ 为其中一个交点。
则 $P_0$ 一定适合两圆的方程，两式相减可知
因此点 $P$ 适合原直线方程。对另一个交点做同理证明即可得到。
2. 求两圆公共弦长的方法
代数法：
将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长。
几何法：
求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出弦长。
十八、圆系方程及其应用技巧
同心圆系方程：
标准方程：
一般方程：
过同一定点 $(a,b)$ 的圆系方程为
过直线 $Ax + By + C = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的交点的圆系方程是
理解方式同公割线方程。
过两圆（均为一般方程）的交点的圆系方程为
特别地，该公式在两圆相切（内切+外切）时，$l$ 为过两圆公共切点的直线方程。
参考文献：
