圆的方程
一、圆的标准方程
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。
则以 \((a,b)\) 为圆心，\(r\) 为半径的圆的标准方程为 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ~(r > 0)\)
特别地，单位圆为 \(x^2 + y^2 = r^2\) 。
二、圆的一般方程
方程 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\left(D^2+E^2-4 F>0\right)\) 叫作圆的一般方程。
转换为标准方程为 \[ \left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4 F}{4} \]
当 \(D^2+E^2-4 F>0\) 时， \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\) 表示一个圆。
这时圆心为 \(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\) ，圆的半径为 \(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4 F}}{2}\) 。
当 \(D^2+E^2-4 F=0\) 时， \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\) 表示一个点 \(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\) 。
当 \(D^2+E^2-4 F<0\) 时，\(x^2+y^2+D x+E y+F=0\) 不表示任何图形。
从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母
因此在一般条件下，只要一直三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程。
下列情况比较适用圆的一般方程：
已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数 \(D,E,F\) 。
已知圆上两点、圆心所在的直线
考虑将两个点代入圆的方程，将圆心 \(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\) 代入圆心所在的直线方程，求待定系数 \(D,E,F\) 。
拓展：
二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程 \(A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0\) 构成圆的条件为： \[ \begin{cases} A=C \neq 0 \\[6pt]B=0 \\[6pt]\left(\dfrac{D}{A}\right)^2+\left(\dfrac{E}{A}\right)^2-4\left(\dfrac{F}{A}\right)>0 \end{cases} \]
三、点与圆的位置关系
判断方法：
几何法：即判断 \(r\) 与 \(|OA|\) 的大小关系。
代数法：根据点的坐标与圆的方程的关系判断
标准方程：已知点 \(P(x_0,y_0)\) ，圆的方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
- 点 \(P\) 在圆外，则 \((x-a)^2+(y-b)^2 > r^2\) 。
- 点 \(P\) 在圆上，则 \((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\) 。
- 点 \(P\) 在圆内，则 \((x-a)^2+(y-b)^2 < r^2\)
一般方程：已知点 \(P(x_0,y_0)\) ，圆的方程 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\)
- 点 \(P\) 在圆外，则 \(x^2+y^2+D x+E y+F > 0\) 。
- 点 \(P\) 在圆上，则 \(x^2+y^2+D x+E y+F = 0\) 。
- 点 \(P\) 在圆内，则 \(x^2+y^2+D x+E y+F < 0\)
四、与圆有关的对称问题
圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称。
圆关于点对称：
求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置。
若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点。
圆关于直线对称
求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置。
若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线。
五、轨迹方程及其求法
轨迹方程指的就是一个动点按照一定规则移动，形成的曲线的方程。
求曲线的轨迹方程，一般有三种方法：直接法、代入法、定义法。
1. 直接法
步骤如下：
- 建立直角坐标系
- 设 \((x,y)\) 表示动点 \(P\)
- 列出关于 \(x,y\) 的方程
- 化简方程。对于某些情况，可能要舍弃曲线上的特殊点。
2. 代入法
一般用于处理一个主动点与一个被动点的问题
只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程。
3. 定义法
先由已知条件及曲线定义得到所求轨迹为何种曲线，再由该种曲线的标准方程求得轨迹方程。
4. 例题
例：
已知点 \(P\) 在圆 \(C : x^2+y^2-8 x-6 y+21=0\) 上运动， \(O\) 为坐标原点，求线段 \(OP\) 的中点 \(M\) 的轨迹方程。
解：
直接法（本题代入法解法相同）：
设 \(M\) 的坐标为 \((x,y)\) ，点 \(P\) 的坐标为 \((x_0,y_0)\) ，则 \(x = \frac{x_0}{2}, y = \frac{y_0}{2}\) ，即 \(x_0 = 2x,y_0 = 2y\) 。
因为点 \(P(x_0,y_0)\) 在圆 \(C : x^2 + y ^ 2 - 8x - 6y + 21 = 0\) 上
所以 \(x_0^2 + y_0^2 - 8x_0 - 6y_0 + 21 = 0\) ，故 \((2 x)^2+(2 y)^2-8 \times(2 x)-6 \times(2 y)+21=0\) 。
即点 \(M\) 的轨迹方程为 \(x^2 + y^2 - 4x - 3y + \frac{21}{4} = 0\) 。
定义法：
如右图，设点 \(M\) 的坐标为 \((x,y)\) 连接 \(OC,PC\) ，取线段 \(OC\) 的终端 \(A\) ，连接 \(MA\) 。
圆 \(C\) 的方程可化为 \((x - 4) ^ 2 + (y - 3)^2 = 4\) ，圆心 \(C\) 为 \((4,3)\) ，\(|CP| = 2\) ，则点 \(A\) 的坐标为 \((2,\frac{3}{2})\) 。
在 \(\triangle OCP\) 中， \(M,A\) 分别是 \(OP,OC\) 的中点，则 \(|M A|=\frac{1}{2}|C P|=1\)
又当 \(O,C,P\) 三点共线时，\(|MA| = 1\) ，则点 \(M\) 的运动轨迹是以 \(A\) 为圆心， \(1\) 为半径的圆。
故点 \(M\) 的轨迹方程为 \((x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 1\) 。
六、点到圆上距离的最值
设点 \(P(x_0,y_0)\) （不一定是定点），求 \(P\) 到圆 \(C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) 上一点 \(Q\) 的最大值和最小值。
这里先给出答案： \[ \begin{aligned} &d_{\max} = |PO|_{\max} + r \\[6pt]&d_{\min} = |PO|_{\min} - r \end{aligned} \] 证明：
考虑当 \(P\) 点固定时对应的最优 \(Q\) ，根据结论 \(Q_0,Q_0^{\prime}\) 对应了取最大值和最小值时 \(Q\) 点所在的位置。
容易发现 \(|PQ_0| = |PO| + |OQ_1| > |PQ_1|\) ，因此取最大值时，\(Q\) 点一定在 \(Q_0\) 处。\(\square\)
这里强调了固定 \(P\) 时，也就是说 \(P\) 不一定为定点，但是对于 \(P\) 的每个位置，都存在对应的 \(Q_0\) ，结论仍成立。
七、拓展：阿波罗尼斯圆
1. 定义参考
这不在高考的范围内，但是可以了解一下，考试会以材料的形式给出。
建议仅了解例题即可（
真的有人像我一样闲着去看了中文维基吗
阿波罗尼奥斯圆是两个相关的圆族。第一个圆族的每一个蓝色圆与第二个圆族的每一个红色圆相互正交。这些圆构成了双极坐标系的基。
阿波罗尼奥斯圆是线段定义的，标记此线段为 \(CD\) 。
第一族（蓝色圆）
第一族中的每一个圆都由一个正实数 \(r\) 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 \(X\) 的轨迹 \[ \left\{X \mid \frac{d(X, C)}{d(X, D)}=r\right\} \] 即 \(X\) 到 \(C\) 的距离与 \(X\) 到 \(D\) 的距离之比值为 \(r\) 。
当 \(r\) 很接近零时，相应的圆会靠近 \(C\) 的一侧，反之更靠近 \(D\) 的一侧。
当 \(r=1\) 时，该圆会退化为线段 \(CD\) 的中垂线。
第二族（红色圆）
第二族中的每个圆都由角 \(\vartheta\) 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 \(X\) 的轨迹 \[ \{X \mid \measuredangle C X D=\theta\} \] 其中 \(\measuredangle CXD\) 表示 CXD 的有向角。当 \(\vartheta\) 取遍 \(0\) 到 \(\pi\) 之间的所有值时，上式生成所有经过 \(C\) 和 \(D\) 的圆
2. 例题
阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被合称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆雉曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆雉曲线论》一书。
阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：
已知动点 \(M\) 与两定点 \(A, B\) 的距离之比为 \(\lambda(\lambda>0, \lambda \neq 1)\) ，那么点 \(M\) 的轨迹就是阿波罗尼斯圆。
如动点 \(M\) 与两定点 \(A\left(\frac{9}{5}, 0\right), B(5,0)\) 的距离之比为 \(\frac{3}{5}\) 时的阿波罗尼斯圆为 \(x^2+y^2=9\) 。
下面，我们来研究与此相关的一个问题。
已知圆 \(O: x^2+y^2=1\) 上的动点 \(M\) 和定点 \(A\left(-\frac{1}{2}, 0\right), B(1,1)\), 则 \(2|M A|+|M B|\) 的最小值为______ 。
解：
如图，取点 \(K(-2,0)\) ，连接 \(OM,MK\)。
因为 \(|OM| = 1,|OA| = \frac{1}{2},|OK| = 2\) ，所以 \(\frac{|OM|}{|OA|} = \frac{|OK|}{|OM|} = 2\) 。
又因为 \(\measuredangle MOK= \measuredangle AOM\) ，所以 \(\triangle MOK \sim \triangle AOM\) ，则 \(\frac{|M K|}{|M A|}=\frac{|O M|}{|O A|}=2\) ，故 \(|MK| = 2|MA|\) 。
所以 \(|M B|+2|M A|=|M B|+|M K|\) ，又在 \(\triangle MBK\) 中，\(|MB| + |MK| \ge |BK|\) ，从而 \[ |MB| + 2|MA| = \left(|MB + |MK|\right)_{\min} = |BK| = \sqrt{(-2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10} \] 故答案为 \(\sqrt{10}\) 。
八、直线与圆的位置关系及判定
判定方法：
代数法：
通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组的解的个数来研究。
- 若 \(\Delta > 0\) ，则直线与圆相交。
- 若 \(\Delta = 0\) ，则直线与圆相切。
- 若 \(\Delta < 0\) ，则直线与圆相离。
几何法：
判断 \(d\) 与 \(r\) 的关系即可，如上图（ \(d\) 可以用点到直线距离公式算）
九、圆的切线问题及切线方程的求解方法
重要思路分析：
- 当直线与圆相切时，一定会用到 \(d=r\) 的结论
- 当一条直线 \(l\) 与圆 \(C\) 相切时，\(l \perp PC\) 。
- 过圆外一点 \(P\) 向圆 \(C\) 作切线，切点为 \(Q\) ，则必定会用到 \(|PC|^2 = |PQ|^2 + r^2\) 。
友情提醒：下文中出现了很多 \((x_0,y_0)\) ，请勿混淆其意义。
1. 切线的条数
过平面内一点引圆的切线。
- 若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线。
- 若点在圆上，则过此点只能做圆的一条切线，且此点是切线。
- 若点在圆内，则过此点不能作圆的切线。
2. 过圆外一点与圆相切的切线方程的求法
过圆外一点 \(P(x_0,y_0)\) 引圆的两条切线。
先假设切线的斜率存在且为 \(k\) ，有下列两种求 \(k\) 的方法：
几何法：
设切线方程 \(y - y_0 = k(x - x_0)\) ，化为一般式 \(kx - y + y_0 - kx_0 = 0\) 。
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，由此解出 \(k\) 。
代数法：
设切线方程为 \(y - y_0 = k (x - x_0)\) ，与圆的方程 \((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r^2\) 联立
化为关于 \(x\) 的一元二次方程，再利用判别式为 \(0\) ，求出 \(k\) 。
若通过上述方法只求出一个斜率 \(k\) ，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线方程为 \(x = x_0\) 。
3. 斜率为 \(k\) 且与圆相切的切线方程的求法
几何法：
先设切线方程为 \(y = kx + m\) ，化为一般式 \(kx - y + m = 0\) 。
然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求 \(m\) 。
代数法：
设切线方程为 \(y = kx + m\) ，与圆的方程 \((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r^2\) 联立
化为关于 \(x\) 的一元二次方程，再利用判别式为 \(0\) ，求出 \(m\) 。
4. 过圆上一点的圆的切线方程的求法
设圆上一点 \(Q(x_0,y_0)\) 。
求法：
先求切点与圆心连线的斜率 \(k(k \ne 0)\) ，则由垂直关系可知切线的斜率为 \(-\frac{1}{k}\)
由点斜式方程可求得切线方程。如果 \(k = 0\) 或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程。
重要结论：
过单位圆 \(x^2 + y^2 = r^2\) ，则切线方程为 \[ x_0x + y_0y = r^2 \]
过圆 \((x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2\) ，则切线方程为 \[ (x_0 - a)(x-a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2 \]
过圆 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) ，则切线方程为 \[ x_0 x+y_0 y+\frac{D(x_0+x)}{2}+\frac{E(y_0+y)}{2}+F=0 \]
注意，下文中出现的切点弦方程与该式有着相同的形式，但是 \((x_0,y_0)\) 的意义是不同的。
这里 \((x_0,y_0)\) 指的是圆上的一个切点的坐标，而后者指的是圆外一点的坐标。
5. 圆的切点弦方程及其求法
切点弦定义：过圆外一点引圆的两条切线，过两切点的线段叫圆的切点弦。
切点弦方程的求法：
直接求切点坐标运算量极大，考虑设而不求。
即设切点坐标，然后利用直线方程的定义求得两切点所在的直线方程。
切点弦公式：（大题可以直接用，完整版详见圆锥曲线-切点弦方程）
过圆外一点 \(P(x_0,y_0)\) 引圆 \(C\) 的两条切线 \(PA,PB\) ，则直线 \(AB\) 为圆 \(C\) 的切点弦。
过单位圆 \(x^2 + y^2 = r^2\) ，则切点弦方程为 \[ x_0x+y_0y = r^2 \]
过圆 \((x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2\) ，则切点弦方程为 \[ (x_0 - a)(x-a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2 \]
过圆 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) ，则切点弦方程为 \[ x_0 x+y_0 y+\frac{D(x_0+x)}{2}+\frac{E(y_0+y)}{2}+F=0 \]
注意，切点弦公式（标准方程形式）与上文的切点方程有着相同的形式，但 \((x_0,y_0)\) 意义是不同的。
6. 圆的切线长的求法及公式
讲了那么多方程方程的，我们来看看切线长度吧（
过圆外一点 \(P(x_0,y_0)\) 引圆的两条切线。
几何法：如下图，在 \(\mathrm{Rt}\triangle AOP\) 和 \(\mathrm{Rt}\triangle BOP\) 中，切线长 \(|PA| = |PB| = \sqrt{|PO|^2 - r^2}\) 。
代数法：
过圆 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) ，则切线长为 \[ \sqrt{\left(x_0-a\right)^2+\left(y_0-b\right)^2-r^2} \]
过圆 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F\) ，则切线长为
\[ \sqrt{x_0^2+y_0^2+D x_0+E y_0+F} \]
十、切线问题例题
例1：
求经过点 \((1,-7)\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 相切的切线方程。
解：（三种方法）
易得 \((1,-7)\) 在圆外且直线 \(x = 1\) 不为切线。
设切线的斜率为 \(k\) ，由点斜式得直线方程为 \(y + 7 = k(x - 1)\) ，即 \(y = k(x-1)-7\) 。
代入 \(x^2 + y^2 = 25\) 由 \(\Delta =\left(2 k^2+14 k\right)^2-4\left(k^2+1\right)\left(k^2+14 k+24\right)=0\) 解得 \(k = \frac{4}{3}\) 或 \(k=-\frac{3}{4}\) 。
代入可得切线方程为 \(4x - 3y - 25 = 0\) 或 \(3x+4y + 25 = 0\) 。
易得 \((1,-7)\) 在圆外且直线 \(x = 1\) 不为切线。
设切线的斜率为 \(k\) ，由点斜式得直线方程为 \(y + 7 = k(x - 1)\) ，即 \(kx-y-k-7 = 0\) 。
由圆的切线性质，可知圆心 \((0,0)\) 到该直线的距离为 \(d = \frac{|0-0-k-7|}{\sqrt{1+k^2}} = r = 5\)
则化简可得 \(12k^2 - 7k - 12 = 0\) ，解得 \(k = \frac{4}{3}\) 或 \(k = -\frac{3}{4}\) 。
代入可得切线方程为 \(4x - 3y - 25 = 0\) 或 \(3x+4y + 25 = 0\) 。
该方法为利用切点弦方程求切线方程。
设所求切线方程为 \(x_0x + y_0y = 25\) ，其中 \((x_0,y_0)\) 是切点坐标
将点 \((1,-7)\) 的坐标代入后，得 \(x_0 - 7y_0 = 25\)
由 \(\left\{\begin{array}{l}x_0-7 y_0=25 \\x_0^2+y_0^2=25\end{array}\right.\) 解得 \(\left\{\begin{array}{l}x_0 = 4 \\ y_0 = -3\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}x_0 = -3 \\y_0 = -4\end{array}\right.\)
故所求切线方程为 \(4x - 3y - 25 = 0\) 或 \(3x+4y+25 = 0\) 。
例2：
点 \(P\) 是直线 \(x+y-3=0\) 上的动点，由点 \(P\) 向圆 \(O:x^2 + y^2 = 4\) 作切线，则切线长的取值范围为
解：
切线长 \(l = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{d^2 - 4}\) ，考察 \(d\) 的取值，易知 \(d\) 仅有最小值。 \[ d_\min = \frac{|1\times 0 + 1\times 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] 故 \(l \ge \sqrt{d_{\min}^2 - 4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 。
例3：
过原点 \(O\) 作圆 \(C:x^2-4 x+y^2-4 y+5=0\) 的两条切线，设切点分别为 \(A,B\) ，求直线 \(AB\) 的方程
解：
套公式得 \(-2x-2y+5 = 0\) ，整理得 \(2x+2y-5=0\) 。
十一、圆的弦长问题的求解方法
设直线 \(l\) 的方程为 \(y = kx + m\) ，圆 \(C\) 的方程为 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) 。
几何法：由下图易知 \(r^2 = d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2\) 。
代数法：
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为 \(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)\) 。
若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解。
若交点坐标无法简单求出，则将方程组 \(\left\{\begin{array}{l}y = kx + m \\ (x - a)^2 + (y - b) ^ 2 = r^2\end{array}\right.\) 消元后得一元二次方程
由一元二次方程中根与系数的关系可得 \(x_1+x_2,~x_1x_2\) 或 \(y_1 + y_2,~y_1y_2\) 的关系式，则有
\(\tiny \begin{aligned}|A B| & =\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \\[6pt]& =\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \\[6pt]& =\sqrt{\left(1+k^2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2\right]}\end{aligned}\) 或 \(\tiny\begin{aligned}|A B| & =\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \\[6pt]& =\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| \\[6pt]& =\textstyle\sqrt{\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\left[\left(y_1+y_2\right)^2-4 y_1 y_2\right]}\end{aligned}\) （这里的公式没啥用）
整理得 \(|A B|=\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right|\) 或 \(|A B|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right|\) （大题可以直接用）
例1：
直线 \(y=k x+3\) 与圆 \((x-3)^2+(y-2)^2=4\) 相交于 \(M, N\) 两点。若 \(|M N| \ge 2 \sqrt{3}\) ，求 \(k\) 的取值范围。
解：
圆 \((x-3)^2+(y-2)^2=4\) 的圆心为 \((3,2)\) ，半径为 \(2\) 。
由 \(|M N| \ge 2 \sqrt{3}\) 得圆心 \((3,2)\) 到直线 \(y = kx + 3\) 的距离 \(d = \sqrt{2^2-\left(\frac{|M N|}{2}\right)^2} \le 1\)
又直线方程可以化为 \(kx - y + 3 = 0\) ，所以 \(\frac{|3 k-2+3|}{\sqrt{k^2+1}} \le 1\) 解得 \(-\frac{3}{4} \le k \le 0\) ，即 \(k \in [-\frac{3}{4},0]\) 。
例2：
设直线 \(y = x + 2a\) 与圆 \(C:x^2 + y^2 - 2ay - 2 = 0\) 相交于 \(A,B\) 两点，若 \(|AB| =2\sqrt{3}\) ，求圆 \(C\) 的面积。
解：
直线方程可化为 \(x - y + 2a = 0\) ，圆的方程可化为 \((x-0)^2+(y-a)^2=\frac{4 a^2+8}{4}\) 。
因为 \(d = \frac{|0 - a + 2a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\) ，即 \(d^2 = \frac{a^2}{2}\) ，又 \(r^2 - d^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2\) ，代入解得 \(a^2 = 2\) 。
故 \(r^2 = 4\) ，即 \(S=\pi r^2 = 4 \pi\) 。
例3：
直线 \(y = kx - 1\) 与圆 \(C : (x + 3) ^ 2 + (y - 3) ^ 2 = 36\) 相交于 \(A,B\) 两点，求 \(AB\) 的长度的取值范围
解：
因为直线 \(y=k x-1\) 过定点 \((0,-1)\)
所以圆 \(C\) 的圆心 \((-3,3)\) 到直线 \(y=k x-1\) 的距离的最大值为 \(\sqrt{[0-(-3)]^2+(-1-3)^2}=5\)
又圆 \(C\) 的半径为 \(6\) ，则 \(A B\) 的长度的最小值为 \(2 \sqrt{6^2-5^2}=2 \sqrt{11}\) 。
又当直线 \(y=\) \(k x-1\) 过圆心时 \(A B\) 的长度取最大值为直径 \(12\) , 故 \(|A B| \in\) \([2 \sqrt{11}, 12]\) 。
十二、解与圆有关最值问题的常用方法
1. 利用几何性质求最值
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线。
经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦。
其实这里没啥东西，就是利用弦长还有点到直线的距离处理一些问题。
2. 利用直线与圆的位置关系解决最值（取值范围）问题
解析集合中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式
然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值（取值范围）。
对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解。
- 形如 \(u = \frac{y - b}{x - a}\) 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。
- 形如 \(t = ax + by\) 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。
- 形如 \((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2\) 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。
例1：
已知点 \(P(x, y)\) 在圆 \(C: x^2+y^2-6 x-6 y+14=0\) 上。
- 求 \(\frac{y}{x}\) 的最大值和最小值。
- 求 \(x^2+y^2+2 x+3\) 的最大值与最小值。
- 求 \(x+y\) 的最大值与最小值。
解：
方程 \(x^2+y^2-6 x-6 y+14=0\) 可化为 \((x-3)^2+(y-\) \(3)^2=4\) 。
\(\frac{y}{x}\) 表示圆上的点 \(P\) 与原点连线的斜率，如图1（在下面）
显然 \(P O\) ( \(O\) 为坐标原点) 与圆相切时，斜率最大或最小。
设切线方程为 \(y=k x\)（由题意知，斜率一定存在），即 \(k x-y=0\)
由圆心 \(C(3,3)\) 到切线的距离等于半径，可得 \(\frac{|3 k-3|}{\sqrt{k^2+1}}=2\) ，解得 \(k=\frac{9 \pm 2 \sqrt{14}}{5}\)
所以 \(\frac{y}{x}\) 的最大值为 \(\frac{9+2 \sqrt{14}}{5}\) ，最小值为 \(\frac{9-2 \sqrt{14}}{5}\) 。
\(x^2+y^2+2 x+3=(x+1)^2+y^2+2\) ，它表示圆上的点 \(P\) 到 \(E(-1,0)\) 的距离的平方再加 \(2\)
所以当点 \(P\) 与点 \(E\) 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值。
如图2，显然点 \(E\) 在圆 \(C\) 的外部，
所以点 \(P\) 与点 \(E\) 距离的最大值为 \(|C E|+2\) ，点 \(P\) 与点 \(E\) 距离的最小值为 \(|C E|-2\) 。
又 \(|C E|=\sqrt{(3+1)^2+3^2}=5\) ，
所以 \(x^2+y^2+2 x+3\) 的最大值为 \((5+2)^2+2=51\) ，最小值为 \((5-2)^2+2=11\) 。
设 \(x+y=b\) ，则 \(b\) 表示动直线 \(y=-x+b\) 在 \(y\) 轴上的截距，如图3，
显然当动直线 \(y=-x+b\) 与圆 \((x-3)^2+(y-3)^2=4\) 相切时， \(b\) 取得最大值或最小值。
此时圆心 \(C(3,3)\) 到切线 \(x+y=0\) 的距离等于圆的半径
则 \(\frac{|3+3-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\) ，即 \(|6 - b| = 2\sqrt{2}\) ，解得 \(b = 6 \pm 2\sqrt{2}\) 。
因此 \(x+y\) 的最大值为 \(6+2 \sqrt{2}\), 最小值为 \(6-2 \sqrt{2}\) 。
十三、直线与圆相交的交点问题
涉及直线与圆相交的交点问题，可以联立直线与圆的方程，通过解方程组求出两交点的坐标
但当相应方程组不易求解时，常常用 “设而不求” 的策略整体转化即先设出两交点坐标，但不求出
而是把直线方程代人圆的方程，通过消元使其变为一元二次方程，再运用根与系数的关系整体代换。
常用步骤：
- 设出两交点坐标 \(P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)\) 。
- 利用已知条件（如两线垂直）得出关于 \(x_1, x_2, y_1, y_2\) 的关系式（如 \(x_1 x_2+y_1 y_2=0\) ）
- 联立直线方程与曲线方程，消去 \(y\!\!\)（或消去 \(x\!\) ）\(\!\!\)得到一个关于 \(x\!\!\)（或关于 \(y\!\) ）\(\!\!\)的二次方程，计算出 \(\Delta\) 。
- 运用韦达定理表示出 \(x_1+x_2, x_1x_2\) 或 \(y_1+y_2, y_1y_2\) 。
- 代入由第二步确定的关系式中并化简
- 验证 \(\Delta>0\) 。
例题：
已知圆 \(C: x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\) ，是否存在斜率为 \(1\) 的直线 \(l\)
使以「圆 \(C\) 截 \(l\) 所得的弦 \(A B\) 」为直径的圆过原点? 若存在，求出直线 \(l\) 的方程；若不存在, 说明理由。
解：
设存在满足题意的直线 \(l\) ，且方程为 \(y=x+b\) 。
由 \(\left\{\begin{array}{l}y=x+b, \\ x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\end{array}\right.\) 消去 \(y\) ，整理得 \(2 x^2+2(b+1) x+b^2+4 b-4=0\) 。
设 \(A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)\) ，则 \(x_1+x_2=-(b+1), x_1 \cdot x_2=\frac{b^2+4 b-4}{2}\)
因为 \(y_1 \cdot y_2=\left(x_1+b\right)\left(x_2+b\right)=x_1 \cdot x_2+b\left(x_1+x_2\right)+b^2\) ，又以 \(A B\) 为直径的圆过原点
所以 \(O A \perp O B\) 。故有 \(k_{O A} \cdot k_{O B}=-1\) ，即 \(x_1x_2+y_1y_2=0\)
于是有 \(b^2+3 b-4=0\) ，解得 \(b=1\) 或 \(b=-4\) 。
因此存在直线 \(l: x-y+1=0\) 或 \(x-y-4=0\) 满足题意。
十四、圆与圆的位置关系及判断方法
1. 位置关系种类
圆与圆有五种位置关系，如上图所示，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切。
2. 判断方法
设圆 \(C_1 = (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2\) 与圆 \(C_2 = (x - c) ^ 2 + (y - d) ^ 2 = R^2\) ，其中 \(r < R\) 。
几何法：
由两圆的圆心距 \(d\) 与半径 \(r,R\) 的关系来判断。
- 外离：\(d > R + r\)
- 外切：\(d = R + r\)
- 相交：\(R - r < d < R + r\)
- 内切：\(d = R - r\)
- 内含： \(d < R - r\)
代数法：（显然该方法运算更复杂）
联立两圆方程，根据方程组的解的个数即可作出判断。
- 当 \(\Delta > 0\) 时，两圆有 \(2\) 个公共点，相交。
- 当 \(\Delta = 0\) 时，两圆有 \(1\) 个公共点，包括内切和外切（相切）。
- 当 \(\Delta < 0\) 时，两圆无公共点，包括内含和外离（相离）。
例：
若圆 \(C_1: x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 5 = 0\) ，
与圆 \(C_2: x^2+y^2+2 x-2 a y+a^2-3=0\) 相交，求 \(a\) 的取值范围。
解：
先写成标准方程的形式，\(C_1:(x-a)^2+(y+2)^2=9,~ C_2:(x+1)^2+(y-a)^2=4\) 。
则两圆的圆心和半径分别为 \(C_1(a,-2), r_1 = 3,C_2(-1,a),r_2 = 2\) 。
设两圆的圆心距为 \(d\) ，则 \(d^2 = (a + 1) ^ 2 + (- 2 - a) ^ 2 = 2a^2 + 6a + 5\) 。
因为相切，所以 \(3 - 2 < d < 3 + 2 \Rightarrow 1 < d < 5\) ，则 \(a \in (-5, -2) \cup (-1,2)\) 。
十五、两圆的公切线
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线。
如果两圆在公切线的同侧，称这条公切线为两圆的外公切线。（蓝色）
如果两圆分别在公切线的两侧，称这条公切线为两圆的内公切线。（绿色）
如上图，亦可以整理为下表的形式。判断公切线的条数，实质上就是在判断两圆的位置关系。 \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \texttt{位置关系} & \texttt{外公切线} & \texttt{内公切线} & \texttt{公切线总数} \\[6pt]\hline \texttt{外离} & 2 & 2 & 4 \\[6pt]\hline \texttt{外切} & 2 & 1 & 3 \\[6pt]\hline \texttt{相交} & 2 & 0 & 2 \\[6pt]\hline \texttt{内切} & 1 & 0 & 1 \\[6pt]\hline \texttt{内含} & 0 & 0 & 0 \\[6pt]\hline \end{array} \] 记忆方法：先从内公切线减，再从外公切线减。
公切线方程的求法：
在求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数
然后利用待定系数法，设公切线的方程为 \(y = kx + b\) （注意特判斜率不存在）
最后根据相切的条件，得到关于 \(k,b\) 的方程组，求出 \(k,b\) 的值即可。
十六、两圆相切问题
两圆相切时常用的性质：
- 设两圆的圆心分别为 \(O_1,O_2\) ，半径为 \(r_1,r_2\) ，则两圆相切有 \(\left\{\begin{array}{l}\texttt{内切} \Leftrightarrow\left|O_1 O_2\right|=\left|r_1-r_2\right|\\\texttt{外切} \Leftrightarrow\left|O_1 O_2\right|=r_1+r_2\end{array}\right.\)
- 两圆相切时，两圆圆心的连线过切点（两圆若相交，则两圆圆心的连线垂直平分公共弦）
在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算。
处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切
若只是告诉两圆相切, 则必须分两圆内切和外切两种情况讨论
其次，将两圆相切的问题转化为『「两圆的圆心距」等于 \(|r_1 - r_2|\) 或 \(r_1 + r_2\) 』
例题：
已知圆 \(C_1: x^2+y^2+2 a x+a^2-4=0~(a \in \mathbb{R})\)
与圆 \(C_2:x^2 + y^2 - 2by - 1 + b ^ 2 = 0~ ( b \in \mathbb{R})\) 只有一条公切线，求 \((a + b)_{\min}\) 。
解：
易知 \(C_1(-a,0)\) ，半径为 \(r_1 = 2\) ，\(C_2(0,b)\) ，半径为 \(r_2 = 1\) 。
由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距 \(|C_1C_2| = \sqrt{a^2 + b^2} = 2 - 1 = 1\) ，故两圆内切。
所以可得 \(a^2 + b^2 = 1\) ，设 \(a = \cos \alpha, b = \sin \alpha~(\alpha \in \mathbb{R})\) ，则 \[ a+b=\sqrt{2} \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \] 当且仅当 \(\alpha + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi,~k\in \mathbb{Z}\) 时，即 \(\alpha = -\frac{3}{4}\pi + 2k\pi,~k \in \mathbb{Z}\) 时，\((a+b)_{\min} = -\sqrt{2}\) 。
十七、两圆公共弦问题
1. 求两圆公共弦所在直线的方程
题外话，这个公共弦所在的直线叫公割线。
设圆 \(C_1 : x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0\) ，圆 \(C_2: x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\) 。
结论：若圆 \(C_1\) 与圆 \(C_2\) 相交，则两圆公割线方程为两圆方程相减 \[ \left(D_1-D_2\right) x+\left(E_1-E_2\right) y+F_1-F_2=0 \] 需注意的是，两圆均以一般方程形式出现，不要减错了。
怎么理解这个方程呢？我们假设点 \(P(x_0,y_0)\) 为其中一个交点。
则 \(P_0\) 一定适合两圆的方程，两式相减可知 \[ \left(D_1-D_2\right) x_0+\left(E_1-E_2\right) y_0+F_1-F_2=0 \] 因此点 \(P\) 适合原直线方程。对另一个交点做同理证明即可得到。
2. 求两圆公共弦长的方法
代数法：
将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长。
几何法：
求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出弦长。
十八、圆系方程及其应用技巧
同心圆系方程：
标准方程： \[ (x-a)^2+(y-b)^2=\lambda^2 \] 一般方程： \[ x^2+y^2+D x+E y+\lambda=0 \]
过同一定点 \((a,b)\) 的圆系方程为 \[ (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 + c_1(x-a) + c_2(y - b) = 0 \]
过直线 \(Ax + By + C = 0\) 与圆 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 的交点的圆系方程是 \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F + \lambda(Ax + By + C) = 0 \] 理解方式同公割线方程。
过两圆（均为一般方程）的交点的圆系方程为 \[ \begin{aligned} x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2 + F_2) = 0 &&\lambda \ne -1 \end{aligned} \] 特别地，该公式在两圆相切（内切+外切）时，\(l\) 为过两圆公共切点的直线方程。
参考文献：
