note[9]

问：（来自link）

定义在 \(\mathbb{R}\) 上的连续函数在 \(x=a\) 处不可导，那么它在 \(a\) 处可以有切线吗？

解：

需要区分的是，切线是几何概念，导数是代数概念

「函数在 \(x=a\) 处可导」是「函数在 \(x=a\) 处存在切线」的充分不必要条件。

也就是说，存在一种情况使得函数在该点处有切线，但不可导，即无穷导数。

打个比方，考察曲线 \(y = \sqrt[3]{x}\) 在 \(x = 0\) 时，易得此时 \(y^{\prime} = \infty\) ，这表明函数在这点不可导

但是 \(x=0\) 处是存在切线的，因为按切线的定义，曲线一端固定在 \((0,0)\) ，另一端无限接近 \((0,0)\)

其极限位置将稳定在 \(y\) 轴处，也就是说这点的切线为直线 \(x=0\) 。