note[9]

问：（来自link）

定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续函数在 $x=a$ 处不可导，那么它在 $a$ 处可以有切线吗？

解：

需要区分的是，切线是几何概念，导数是代数概念

「函数在 $x=a$ 处可导」是「函数在 $x=a$ 处存在切线」的充分不必要条件。

也就是说，存在一种情况使得函数在该点处有切线，但不可导，即无穷导数。

打个比方，考察曲线 $y = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 0$ 时，易得此时 $y^{\prime} = \infty$ ，这表明函数在这点不可导

但是 $x=0$ 处是存在切线的，因为按切线的定义，曲线一端固定在 $(0,0)$ ，另一端无限接近 $(0,0)$

其极限位置将稳定在 $y$ 轴处，也就是说这点的切线为直线 $x=0$ 。