正态分布
本文仅涉及高中数学部分，但是掺杂了一些拓展的。
正态分布的概率密度函数（均值为 \(\mu\) 方差为 \(\sigma^2\) ）是高斯函数的一个实例。 \[ f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot \exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)(x ,\mu , \sigma \in \mathbb{R},\sigma > 0) \] 称函数 \(f(x)\) 的图像为正态密度曲线，简称正态曲线。
若随机变量 \(X\) 服从这个分布，则称 \(X\) 服从正态分布，记作 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) 。
特别地，若 \(\mu = 0\) 且 \(\sigma = 1\) ，则这个分布被称为标准正态分布，这个分布能简化为 \[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \exp \left(-\frac{x^2}{2}\right) \] 随机变量 \(X\) 落在区间 \((a,b]\) 的概率为 \[ \mathrm{Pr}(a < X \le b) \boldsymbol{\approx}\int_a^b f(x)\, \mathrm{d} x \]
正态分布的性质
参数 \(\mu\) 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计。
参数 \(\sigma\) 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计。
\(\mu = 0, \sigma = 1\) 被称为标准正态分布，见下文。
考虑正态曲线 \(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\cdot \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right)\)
当 \(|x|\) 无限增大时，曲线无限接近 \(x\) 轴
曲线是单峰的，它关于直线 \(x = \mu\) 对称
曲线在 \(x = \mu\) 处达到峰值 \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\)
曲线与 \(x\) 轴之间的面积为 \(1\) ，即 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, \mathrm{d}x = 1\)
当 \(\sigma\) 一定时，曲线的位置由 \(\mu\) 确定，如图 \((\sigma = 1)\)
当 \(\mu\) 一定时，曲线的形状由 \(\sigma\) 确定，如图 \((\mu = 0)\)
标准正态分布
若 \(\mu = 0\) 且 \(\sigma = 1\)
，则称为标准正态分布，该分布能简化为 \[
f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)
\] 由于标准正态总体 \(N(0,1)\)
在正态总体的研究中占有非常重要的地位，已专门制作了
“标准正态分布表”。
在这个表中，相应于 \(x_0\) 的 \(\Phi\left(x_0\right)\) 是指总体取值小于 \(x_0\) 的概率，即 \(\Phi\left(x_0\right)=\mathrm{Pr}\left(X<x_0\right)\) 。如图：
由于标准正态曲线关于 \(x\) 轴对称，表中仅给出了对应于非负值 \(x_0\) 的 \(\Phi(x_0)\)
计算非正值 \(-x_0\) 可以用 \(\Phi\left(-x_0\right)=1-\Phi\left(x_0\right)\) 来计算。
同时，利用公式 \(\mathrm{Pr}(X < x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\) 可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题。
\(3\sigma\) 原则
\[ \begin{aligned} &\mathrm{Pr}(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0.6827 \\[6pt]&\mathrm{Pr}(\mu-2 \sigma \le X \le \mu+2 \sigma) \approx 0.9545 \\[6pt]&\mathrm{Pr}(\mu-3 \sigma \le X \le \mu+3 \sigma) \approx 0.9973 \end{aligned} \]
如图：
特别地，对于标准正态分布的正态变量（标准正态变量）：
在区间 \((-1,1),(-2,2),(-3,3)\) 内取值的概率分别为 \(0.6827,0.9545,0.9973\) 。
在实际应用中，通常认为服从于正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的随机变量 \(X\) 只取 \([\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma]\) 中的值，这在统计学中称为 \(3 \sigma\) 原则。 在一次试验中，\(X\) 的取值几乎总是落在区间 \([\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma]\) 之内, 而在此区间以外取值的概率只有 \(0.0027\) ，通常认为这种情况几乎不可能发生。这是统计中常用的假设检验方法的基本思想。
参考文献：
