超几何分布

一般地，假设一批产品共有 \(N\) 件，其中有 \(M\) 件次品，从 \(N\) 件产品中随机抽取 \(n\) 件（不放回），用 \(X\) 表示抽取的 \(n\) 件产品中的次品数，则 \(X\) 的分布列为 \[ \begin{aligned} \mathrm{Pr}(X=k)=\frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} &&(0 \uparrow n - N -M) \le k \le (n\downarrow M) \end{aligned} \] 如果随机变量 \(X\) 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 \(X\) 服从超几何分布，记作 \(X \sim H(n, M, N)\)。

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超几何分布的性质

• 期望： \[ \mathrm{E}(X) = \frac{nM}{N} = np \]

• 方差： \[ \mathrm{Var}(X) = \frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)} \]