超几何分布

一般地，假设一批产品共有 $N$ 件，其中有 $M$ 件次品，从 $N$ 件产品中随机抽取 $n$ 件（不放回），用 $X$ 表示抽取的 $n$ 件产品中的次品数，则 $X$ 的分布列为

$$\begin{aligned} \mathrm{Pr}(X=k)=\frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} &&(0 \uparrow n - N -M) \le k \le (n\downarrow M) \end{aligned}$$

如果随机变量 $X$ 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 $X$ 服从超几何分布，记作 $X \sim H(n, M, N)$。

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超几何分布的性质

• 期望：

  $$\mathrm{E}(X) = \frac{nM}{N} = np$$

• 方差：

  $$\mathrm{Var}(X) = \frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$$