洛谷P3802 小魔女帕琪题解

题意：

从前有一个聪明的小魔女帕琪，兴趣是狩猎吸血鬼。

帕琪能熟练使用七种属性（金、木、水、火、土、日、月）的魔法，除了能使用这么多种属性魔法外，她还能将两种以上属性组合，从而唱出强力的魔法。比如说为了加强攻击力而将火和木组合，为了掩盖弱点而将火和土组合等等，变化非常丰富。

现在帕琪与强大的夜之女王，吸血鬼蕾咪相遇了，夜之女王蕾咪具有非常强大的生命力，普通的魔法难以造成效果，只有终极魔法：帕琪七重奏才能对蕾咪造成伤害。帕琪七重奏的触发条件是：连续施放的 $7$ 个魔法中，如果魔法的属性各不相同，就能触发一次帕琪七重奏。

请注意，无论前 $6$ 个魔法是否已经参与施放终极魔法，只要连续 $7$ 个魔法的属性各不相同，就会再触发一次终极魔法。例如，如果用序号来代表一种魔法，魔法的施放序列为 $1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 1$，则前 $7$ 个魔法会触发一次终极魔法，后 $7$ 个魔法会再触发一次终极魔法。

现在帕琪有 $7$ 种属性的能量晶体，第 $i$ 种晶体可以施放出属性为 $i$ 的魔法，共有 $a_i$ 个。每次施放魔法时，会等概率随机消耗一个现有的能量晶体，然后释放一个对应属性的魔法。

现在帕琪想知道，她触发帕琪七重奏的期望次数是多少，可是她并不会算，于是找到了学 OI 的你。

输入格式：

输入只有一行 $7$ 个整数，第 $i$ 个整数代表 $a_i$。

输出格式：

输出一行一个实数代表答案，四舍五入保留三位小数。

数据范围：

对于 $100\%$ 的数据，保证 $0 \leq a_i \leq 10^9$，且 $\sum_{i = 1}^7 a_i \leq 10^9$。

居然是道纯数学题。（~~有一说一，这个“帕琪七重奏”有种莫名的优雅~~）

注意到每次触发帕琪七重奏其实和之前触发是无关的。因为 $1\sim 7$ 放招了以后，$2 \sim 8$ 还可以放。

考虑前 $7$ 个触发帕琪七重奏的概率。记 $N = \sum a_i$ ，则

$\mathrm{Pr}_1 = 7!\times\frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6}$

前面的 $7!$ 对应了 $a_1,a_2,\cdots,a_7$ 的不同排列，显然这样的次序不会影响触发帕琪七重奏

然后考虑第一个取出的元素固定为 $a_1$ 时，接下来的 $7$ 个触发帕琪七重奏。

$\mathrm{Pr}_{2,1} =7!\times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6} \times \frac{a_1-1}{N-7}$

再试试固定为 $a_2$ ？

$\mathrm{Pr}_{2,2} =7!\times \frac{a_2}{N} \times \frac{a_1}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6} \times \frac{a_2-1}{N-7}$

以上 $7!$ 均为第一个元素固定时，第 $2 \sim 8$ 个元素的排列。

而我们可以发现

$\sum_{i = 1}^7 \frac{a_i - 1}{N - 7} = 1$

因此

$\mathrm{Pr}_2 = 7 ! \times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6}$

震惊，每一个连续 $7$ 项的贡献都是一样的。~~小编也觉得很奇怪，但事实就是这样~~

而这样的项有 $N-6$ 个，因此最终的答案为

$\mathrm{Pr}_0 = 7 ! \times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times a_7$

时间复杂度 $\mathcal{O}(1)$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
void up(int &x,int y) { x < y ? x = y : 0; }
void down(int &x,int y) { x > y ? x = y : 0; }
#define N ((int)())

double s, res = 1, a[15];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    for(int i=1; i<=7; i++){ cin >> a[i]; s += a[i]; }
    for(int i=1; i<=6; i++) res = res * a[i] / (s + 1 - i) * i;
    res = res * a[7] * 7;
    cout << fixed << setprecision(3) << res << '\n';
    return 0;
}