求曲线的切线方程

利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数。

求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点。

若切点没有给出,一般是先把切点坐标设出来，并求出切点坐标，再求切线方程。

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常用步骤

1. 求解以曲线上的点 $(x_0,f(x_0))$ 为切点的切线方程的步骤：

   1. 求出函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}(x)$
   2. 求出切线的斜率 $f^{\prime}(x_0)$
   3. 写出切线方程，并化简
   $$y - f(x_0) = f^{\prime}(x_0)(x - x_0)$$

2. 若已知点 $(x_1,y_1)$ 不在曲线上（一般为切线上一点），则

   1. 先设切点为 $(x_0,y_0)$，再解方程组
   $$\left\{\begin{array}{l} y_0=f\left(x_0\right) \\ \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=f^{\prime}\left(x_0\right) \end{array}\right.$$
   1. 解出切点 $(x_0,y_0)$ ，进而求出切线方程。

注意：求切线方程时，要判断已知点是否满足曲线方程（即是否在曲线上）

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例题

例题1：

已知函数 $f(x)=x^3-4 x^2+5 x-4$ 。

1. 求曲线 $f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程。

2. 求经过点 $A(2,-2)$ 的曲线 $f(x)$ 的切线方程。

解：

1. 因为 $f^{\prime}(x)=3 x^2-8 x+5$ ，所以 $f^{\prime}(2) = 1$ 。

   又因为 $f(2) = -2$ ，所以曲线 $f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为

   $$y - (-2) = x - 2$$

   即 $x - y - 4 = 0$ 。

2. 设切点坐标为 $\left(x_0, x_0^3-4 x_0^2+5 x_0-4\right)$ 。

   所以

   $$x_0^3-4 x_0^2+5 x_0-2=\left(3 x_0^2-8 x_0+5\right)\left(x_0-2\right)$$

   整理得 $\left(x_0-2\right)^2\left(x_0-1\right)=0$ ，解得 $x_0 = 2$ 或 $x_0 = 1$ 。

   当 $x_0 = 2$ 时，$f^{\prime}(x_0) = 1$ ，此时所求的切线方程为 $x - y - 4 = 0$

   当 $x_0 = 1$ 时，$f^{\prime}(x_0) = 0$ ，此时所求的切线方程为 $y + 2 = 0$ 。

   故经过点 $A(2,-2)$ 的曲线 $f(x)$ 的切线方程为 $x - y - 4 = 0$ 或 $y + 2 = 0$ 。

例题2：

求函数 $f(x)=x^4-2 x^3$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程。

解：

因为 $f(x)=x^4-2 x^3$ ，所以 $f^{\prime}(x) = 4x-6x^2$ ，故 $f(1) = -1, f^{\prime}(1) = -2$ 。

则在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为

$$y + 1 = -2 (x - 1)\ \Rightarrow\ y = -2x + 1$$

例题3：

求曲线 $y = \frac{2x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程。

解：

$$y^{\prime} =\frac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$$

故在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为

$$y + 3 = 5 (x + 1) \ \Rightarrow\ y = 5x + 2$$

例题4：

曲线 $y=\ln x+x+1$ 的一条切线的斜率为 $2$ ，求该切线的方程。

解：

设切线方程为

$$y-f\left(x_0\right)=2\left(x-x_0\right)$$

由 $f^{\prime}\left(x_0\right)=2 \Rightarrow \frac{1}{x}+1=2$ 得 $x_0 = 1$ ，故 $f\left(x_0\right)=2$

代入切线方程得

$$y=2 x$$