求曲线的切线方程
利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数。
求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点。
若切点没有给出,一般是先把切点坐标设出来，并求出切点坐标，再求切线方程。
常用步骤
求解以曲线上的点 \((x_0,f(x_0))\) 为切点的切线方程的步骤：
- 求出函数 \(f(x)\) 的导数 \(f^{\prime}(x)\)
- 求出切线的斜率 \(f^{\prime}(x_0)\)
- 写出切线方程，并化简
\[ y - f(x_0) = f^{\prime}(x_0)(x - x_0) \]
若已知点 \((x_1,y_1)\) 不在曲线上（一般为切线上一点），则
- 先设切点为 \((x_0,y_0)\)，再解方程组
\[ \left\{\begin{array}{l} y_0=f\left(x_0\right) \\ \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=f^{\prime}\left(x_0\right) \end{array}\right. \]
- 解出切点 \((x_0,y_0)\) ，进而求出切线方程。
注意：求切线方程时，要判断已知点是否满足曲线方程（即是否在曲线上）
例题
例题1：
已知函数 \(f(x)=x^3-4 x^2+5 x-4\) 。
求曲线 \(f(x)\) 在点 \((2, f(2))\) 处的切线方程。
求经过点 \(A(2,-2)\) 的曲线 \(f(x)\) 的切线方程。
解：
因为 \(f^{\prime}(x)=3 x^2-8 x+5\) ，所以 \(f^{\prime}(2) = 1\) 。
又因为 \(f(2) = -2\) ，所以曲线 \(f(x)\) 在点 \((2,f(2))\) 处的切线方程为 \[ y - (-2) = x - 2 \] 即 \(x - y - 4 = 0\) 。
设切点坐标为 \(\left(x_0, x_0^3-4 x_0^2+5 x_0-4\right)\) 。
所以 \[ x_0^3-4 x_0^2+5 x_0-2=\left(3 x_0^2-8 x_0+5\right)\left(x_0-2\right) \] 整理得 \(\left(x_0-2\right)^2\left(x_0-1\right)=0\) ，解得 \(x_0 = 2\) 或 \(x_0 = 1\) 。
当 \(x_0 = 2\) 时，\(f^{\prime}(x_0) = 1\) ，此时所求的切线方程为 \(x - y - 4 = 0\)
当 \(x_0 = 1\) 时，\(f^{\prime}(x_0) = 0\) ，此时所求的切线方程为 \(y + 2 = 0\) 。
故经过点 \(A(2,-2)\) 的曲线 \(f(x)\) 的切线方程为 \(x - y - 4 = 0\) 或 \(y + 2 = 0\) 。
例题2：
求函数 \(f(x)=x^4-2 x^3\) 的图像在点 \((1, f(1))\) 处的切线方程。
解：
因为 \(f(x)=x^4-2 x^3\) ，所以 \(f^{\prime}(x) = 4x-6x^2\) ，故 \(f(1) = -1, f^{\prime}(1) = -2\) 。
则在点 \((1, f(1))\) 处的切线方程为
\[
y + 1 = -2 (x - 1)\ \Rightarrow\ y = -2x + 1
\]
例题3：
求曲线 \(y = \frac{2x-1}{x+2}\) 在点 \((-1,-3)\) 处的切线方程。
解： \[
y^{\prime} =\frac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}
\] 故在点 \((-1,-3)\)
处的切线方程为 \[
y + 3 = 5 (x + 1) \ \Rightarrow\ y = 5x + 2
\]
例题4：
曲线 \(y=\ln x+x+1\) 的一条切线的斜率为 \(2\) ，求该切线的方程。
解：
设切线方程为 \[ y-f\left(x_0\right)=2\left(x-x_0\right) \] 由 \(f^{\prime}\left(x_0\right)=2 \Rightarrow \frac{1}{x}+1=2\) 得 \(x_0 = 1\) ，故 \(f\left(x_0\right)=2\)
代入切线方程得 \[ y=2 x \]
