利用导数求参数

常用步骤：

利用导数的几何意义求参数时，常根据以下关系列方程：

1. 函数在切点处的导数值等于切线的斜率

2. 切点在切线上

3. 切点在曲线上

4. 题目所给的其他条件

最后通过解方程(组)得到参数的值。

例题：

1. 设 \(f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}+a x+b\) （ \(a, b \in \mathbb{R},~ a, b\) 为常数 ）

   若曲线 \(y=f(x)\) 与直线 \(y=\frac{3}{2} x\) 在点 \((0,0)\) 处相切，求 \(a,b\) 。

   
   

   解：由曲线 \(y = f(x)\) 过点 \((0,0)\) 可解出 \(b = -1\) 。

   由 \(f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}+a x+b\) 可知 \[ f^{\prime}(x) = \frac{1}{x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}+a \] 则切线处的斜率为 \(f^{\prime}(0) = 1 + \frac{1}{2} + a = \frac{3}{2} + a = \frac{3}{2}\) ，即 \(a = 0\) 。

   综上 \(a=0,~ b=-1\) 。

2. 若直线 \(y=k x+b\) 是曲线 \(y=\ln x+2\) 的切线，也是曲线 \(y=\ln (x+1)\) 的切线，求 \(k,b\) 。

   
   

   解：切线相同，但切点不一定相同。考虑分别设出这两个切点，并联立切线方程。

   对曲线 \(y=\ln x+2\) 求导得 \(y^{\prime} = \frac{1}{x}\) ，对曲线 \(y=\ln (x+1)\) 求导得 \(y^{\prime} = \frac{1}{x+1}\) 。

   设直线 \(y = kx+b\) 与曲线 \(y=\ln x+2\) 相切于点 \(P_1(x_1,y_1)\) ，与曲线 \(y=\ln (x+1)\) 相切于 \(P_2(x_2,y_2)\)

   则 \(y_1 = \ln x_1 + 2, y_2 = \ln(x_2 + 1)\) 。

   由点 \(P_1(x_1,y_1)\) 在切线上，得 \[ y-\left(\ln x_1+2\right)=\frac{1}{x_1}\left(x-x_1\right) \] 由点 \(P_2(x_2,y_2)\) 在切线上，得 \[ y-\ln \left(x_2+1\right)=\frac{1}{x_2+1}\left(x-x_2\right) \] 因为这两个切线方程表示同一条切线，所以 \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2+1} \\[8pt]\ln \left(x_2+1\right)=1+\ln x_1+\dfrac{x_2}{x_2+1} \end{cases} \] 解得 \(x_1 = \frac{1}{2},~x_2 = -\frac{1}{2}\) ，所以 \(k = \frac{1}{x_1} = 2,~ b = y_1 - kx_1 = 1 - \ln 2\) 。