利用导数求参数

常用步骤：

利用导数的几何意义求参数时，常根据以下关系列方程：

1. 函数在切点处的导数值等于切线的斜率

2. 切点在切线上

3. 切点在曲线上

4. 题目所给的其他条件

最后通过解方程(组)得到参数的值。

例题：

1. 设 $f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}+a x+b$ （ $a, b \in \mathbb{R},~ a, b$ 为常数 ）

   若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=\frac{3}{2} x$ 在点 $(0,0)$ 处相切，求 $a,b$ 。

   
   

   解：由曲线 $y = f(x)$ 过点 $(0,0)$ 可解出 $b = -1$ 。

   由 $f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}+a x+b$ 可知

   $$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}+a$$

   则切线处的斜率为 $f^{\prime}(0) = 1 + \frac{1}{2} + a = \frac{3}{2} + a = \frac{3}{2}$ ，即 $a = 0$ 。

   综上 $a=0,~ b=-1$ 。

2. 若直线 $y=k x+b$ 是曲线 $y=\ln x+2$ 的切线，也是曲线 $y=\ln (x+1)$ 的切线，求 $k,b$ 。

   
   

   解：切线相同，但切点不一定相同。考虑分别设出这两个切点，并联立切线方程。

   对曲线 $y=\ln x+2$ 求导得 $y^{\prime} = \frac{1}{x}$ ，对曲线 $y=\ln (x+1)$ 求导得 $y^{\prime} = \frac{1}{x+1}$ 。

   设直线 $y = kx+b$ 与曲线 $y=\ln x+2$ 相切于点 $P_1(x_1,y_1)$ ，与曲线 $y=\ln (x+1)$ 相切于 $P_2(x_2,y_2)$

   则 $y_1 = \ln x_1 + 2, y_2 = \ln(x_2 + 1)$ 。

   由点 $P_1(x_1,y_1)$ 在切线上，得

   $$y-\left(\ln x_1+2\right)=\frac{1}{x_1}\left(x-x_1\right)$$

   由点 $P_2(x_2,y_2)$ 在切线上，得

   $$y-\ln \left(x_2+1\right)=\frac{1}{x_2+1}\left(x-x_2\right)$$

   因为这两个切线方程表示同一条切线，所以

   $$\begin{cases} \dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2+1} \\[8pt]\ln \left(x_2+1\right)=1+\ln x_1+\dfrac{x_2}{x_2+1} \end{cases}$$

   解得 $x_1 = \frac{1}{2},~x_2 = -\frac{1}{2}$ ，所以 $k = \frac{1}{x_1} = 2,~ b = y_1 - kx_1 = 1 - \ln 2$ 。