期望值
在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望，亦简称期望）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。
期望值更像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。
期望值可能与每一个结果都不相等，或者说期望值就是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。
例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望值是 \(3.5\) ，计算如下：
\[ \begin{aligned} \mathrm{E}(X) &=1 \cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{6}+4 \cdot \frac{1}{6}+5 \cdot \frac{1}{6}+6 \cdot \frac{1}{6} \\ &=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 \end{aligned} \] 不过如上所说明的，\(3.5\) 虽是“点数”的期望值，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。
高中书上是这么写的：
一般地，若离散型随机变量 \(X\) 的分布列为
\(X\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_i\) \(\cdots\) \(x_n\) \(\mathrm{P}\) \(p_1\) \(p_2\) \(\cdots\) \(p_i\) \(\cdots\) \(p_n\) 则称 \(\mathrm{E}(X) = \sum x_i p_i\) 为随机变量 \(X\) 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
数学定义
如果 \(X\) 是在概率空间 \((\Omega,F,P)\) 中的随机变量，那么它的期望值 \(\mathrm{E}(X)\) 的定义为 \[ \mathrm{E}(X)=\int_{\Omega} X \mathrm{~d} P \] > 概率空间 \((\Omega,F,P)\) 通俗地讲，就是样本空间+事件+概率（\(P: F \mapsto \mathbb{R}\)）
并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候上述积分不存在。
如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望值也相同。
如果 \(X\) 是离散的随机变量，输出值为 \(x_1,x_2,\ldots\)，和输出值相应的概率为 \(p_1,p_2,\cdots\) （概率和为 \(1\) ） 。
若级数 \(\sum_i p_i x_i\) 绝对收敛，那么期望值 \(\mathrm{E}(X)\) 是一个无限数列的和。 \[ \mathrm{E}(X)=\sum_i p_i x_i \] 如果 \(X\) 是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数 \(f(x)\) ，若积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{d} x\) 绝对收敛，那么 \(X\) 的期望值可以计算为: \[ \mathrm{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{d} x \] 是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望值的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。
期望的性质
期望的性质还是蛮多的，用得最多的还是前两个
期望的线性性质：期望值 \(\mathrm{E}\) 是线性函数（一次函数） \[ \mathrm{E}(aX + bY) = a\,\mathrm{E}(X) + b\,\mathrm{E}(Y) \] 其中 \(X,Y\) 为在同一概率空间的两个随机变量（可以独立或非独立），\(a,b\) 为任意实数。
计算方差：我们可以用随机变量 \(X\) 的期望值 \(\mathrm{E}(X)\) 来计算 \(X\) 的方差 \(\mathrm{Var}(X)\) \[ \mathrm{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \mathrm{E}(X)^2 \] 可以简记为：平方的期望 减 期望的平方 。
高中一般用 \(\mathrm{D}(X)\) 表示方差，用 \(\sigma(X)\) 表示标准差。
除此以外，期望还有些其他的性质。
一般的说，一个随机变量的「函数的期望值」不等于这个随机变量的「期望值的函数」。 \[ \mathrm{E}(g(X))=\int_{\Omega} g(x) f(x) \mathrm{d} x \neq g(\mathrm{E}(X)) \]
在一般情况下，两个随机变量的「积的期望值」不等于这两个随机变量的「期望值的积」。
当 \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y)\) 成立时，随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的协方差为 \(0\) ，又称它们不相关。
特别的，当两个随机变量相互独立时，它们协方差（若存在）为 \(0\) 。
参考文献：
