期望值
在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望，亦简称期望）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。
期望值更像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。
期望值可能与每一个结果都不相等，或者说期望值就是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。
例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望值是 $3.5$ ，计算如下：
不过如上所说明的，$3.5$ 虽是“点数”的期望值，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。
高中书上是这么写的：
一般地，若离散型随机变量 $X$ 的分布列为
$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_i$ $\cdots$ $x_n$ $\mathrm{P}$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_i$ $\cdots$ $p_n$ 则称 $\mathrm{E}(X) = \sum x_i p_i$ 为随机变量 $X$ 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
数学定义
如果 $X$ 是在概率空间 $(\Omega,F,P)$ 中的随机变量，那么它的期望值 $\mathrm{E}(X)$ 的定义为
概率空间 $(\Omega,F,P)$ 通俗地讲，就是样本空间+事件+概率（$P: F \mapsto \mathbb{R}$）
并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候上述积分不存在。
如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望值也相同。
如果 $X$ 是离散的随机变量，输出值为 $x_1,x_2,\ldots$，和输出值相应的概率为 $p_1,p_2,\cdots$ （概率和为 $1$ ） 。
若级数 $\sum_i p_i x_i$ 绝对收敛，那么期望值 $\mathrm{E}(X)$ 是一个无限数列的和。
如果 $X$ 是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数 $f(x)$ ，若积分 $\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛，那么 $X$ 的期望值可以计算为:
是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望值的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。
期望的性质
期望的性质还是蛮多的，用得最多的还是前两个
期望的线性性质：期望值 $\mathrm{E}$ 是线性函数（一次函数）
其中 $X,Y$ 为在同一概率空间的两个随机变量（可以独立或非独立），$a,b$ 为任意实数。
计算方差：我们可以用随机变量 $X$ 的期望值 $\mathrm{E}(X)$ 来计算 $X$ 的方差 $\mathrm{Var}(X)$
可以简记为：平方的期望 减 期望的平方 。
高中一般用 $\mathrm{D}(X)$ 表示方差，用 $\sigma(X)$ 表示标准差。
除此以外，期望还有些其他的性质。
一般的说，一个随机变量的「函数的期望值」不等于这个随机变量的「期望值的函数」。
在一般情况下，两个随机变量的「积的期望值」不等于这两个随机变量的「期望值的积」。
当 $\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y)$ 成立时，随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差为 $0$ ，又称它们不相关。
特别的，当两个随机变量相互独立时，它们协方差（若存在）为 $0$ 。
参考文献：
