两点分布（伯努利分布）

两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。

基本概念

伯努利分布，又名 两点分布 或者 0-1分布 ，是一个离散型概率分布，为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名。

• 若伯努利试验成功，则伯努利随机变量取值为 $1$
• 若伯努利试验失败，则伯努利随机变量取值为 $0$ 。

记其成功概率为 $p(0\le p\le 1)$ ，失败概率为 $q = 1 - p$ ，则

• 其概率质量函数为

  $$f_X(x) = p^x(1-p)^{1-x} = \begin{cases}p & \text { if } x=1 \\ q & \text { if } x=0\end{cases}$$

• 其期望值为

  $$\operatorname{E}[X] = \sum_{i=0}^{1} x_i f_X(x) = 0 + p = p$$

• 其方差为

  $$\begin{aligned} \operatorname{Var}[X] &=\sum_{i=0}^1\left(x_i-\operatorname{E}[X]\right)^2 f_X(x) \\[6pt]&=(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2 p \\[6pt]&=p(1-p) \\[6pt]&=p q \end{aligned}$$

高中一般称伯努利分布为两点分布。

基本的应用也就算出 $X=0$ 的概率，然后用 $1- \mathrm{P}(X=0)$ 算出 $\mathrm{P}(X=1)$ 的概率。

高中一般直接写 $\mathrm{P}(X = k)$ 即可，更一般的写法为 $\mathrm{Pr}(X = k)$ 。（probability的缩写）

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常见误区

1. 随机试验的结果不是只能用 $0,1$ 表示，也可以设为 $1$ 和 $2$ 。

   因为随机变量只是把随机试验可能发生的结果数量化。

   我们甚至可以设为 $98$ 和 $100$ ，只不过我们为了方便起见，用 $0$ 和 $1$ 。

2. 服从两点分布的随机变量，可能发生的结果不是 $1$ 就是 $0$ ，但是它们发生的概率不一定是 $\frac{1}{2}$。

   例如，有 $10$ 颗豆子，$9$ 颗红的，$1$ 颗绿的。

   从中随机取出 $1$ 颗豆子的颜色虽然也服从两点分布，

   但取出 $1$ 颗豆子是红豆的概率为 $\frac{9}{10}$ ，是绿豆的概率为 $\frac{1}{10}$ ，二者不相等。

   究其原因，还是因为样本空间中这两者对应的样本点的数量不相等。

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例题

例：袋中有 $5$ 个白球， $6$ 个红球，从中摸出两球，记 $X = \begin{cases}0,&\texttt{两球均为红色}\\1,&\texttt{两球不全为红色}\end{cases}$ ，求随机变量 $X$ 的分布列。

解：先求出 $\mathrm{P}(X=0)$ ，再用 $1-\mathrm{P}(X=0)$ 来算 $\mathrm{P}(x=1)$ 。

答：由题意知， $X$ 服从两点分布， 则

$$\mathrm{P}(X = 0) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{3}{11}$$

所以

$$\mathrm{P}(X = 1) = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$$

所以随机变量 $X$ 的分布列为

$X$	$0$	$1$
$\mathrm{P}(X)$	$\frac{3}{11}$	$\frac{8}{11}$

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参考文献：

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E5%88%86%E5%B8%83