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两点分布(伯努利分布)

两点分布的应用非常广泛,如抽取的彩票是否中奖,买回的一件产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,都可以用两点分布来研究。

基本概念

伯努利分布,又名 两点分布 或者 0-1分布 ,是一个离散型概率分布,为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名。

  • 若伯努利试验成功,则伯努利随机变量取值为 1
  • 若伯努利试验失败,则伯努利随机变量取值为 0

记其成功概率为 p(0p1) ,失败概率为 q=1p ,则

  • 概率质量函数

    fX(x)=px(1p)1x={p if x=1q if x=0
  • 期望值

    E[X]=1i=0xifX(x)=0+p=p
  • 方差

    Var[X]=1i=0(xiE[X])2fX(x)=(0p)2(1p)+(1p)2p=p(1p)=pq

高中一般称伯努利分布为两点分布。

基本的应用也就算出 X=0 的概率,然后用 1P(X=0) 算出 P(X=1) 的概率。

高中一般直接写 P(X=k) 即可,更一般的写法为 Pr(X=k) 。(probability的缩写)


常见误区

  1. 随机试验的结果不是只能用 0,1 表示,也可以设为 12

    因为随机变量只是把随机试验可能发生的结果数量化。

    我们甚至可以设为 98100 ,只不过我们为了方便起见,用 01

  2. 服从两点分布的随机变量,可能发生的结果不是 1 就是 0 ,但是它们发生的概率不一定是 12

    例如,有 10 颗豆子,9 颗红的,1 颗绿的。

    从中随机取出 1 颗豆子的颜色虽然也服从两点分布,

    但取出 1 颗豆子是红豆的概率为 910 ,是绿豆的概率为 110 ,二者不相等。

    究其原因,还是因为样本空间中这两者对应的样本点的数量不相等。


例题

:袋中有 5 个白球, 6 个红球,从中摸出两球,记 X={0,两球均为红色1,两球不全为红色 ,求随机变量 X 的分布列。

:先求出 P(X=0) ,再用 1P(X=0) 来算 P(x=1)

:由题意知, X 服从两点分布, 则

P(X=0)=(62)(112)=311

所以

P(X=1)=1311=811

所以随机变量 X 的分布列为

X 0 1
P(X) 311 811

参考文献

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E5%88%86%E5%B8%83


文章作者: q779
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